Binomisk fordeling

Antall suksesser i en Bernoulli forsøksrekke er binomisk fordelt. En Bernoulli forsøksrekke består her av et gitt antall uavhengige forsøk som hver har to mulige utfall, som det er vanlig å kalle henholdsvis suksess og fiasko. For at man skal få en binomisk fordeling er det også en forutsetning at sannsynligheten for suksess er lik for alle forsøkene i forsøksrekka.

Bernoulli forsøksrekke

Vi gir først en presis definisjon av hva vi mener med en Bernoulli forsøksrekke.

Binomisk fordeling

Vi definerer binomisk fordeling ved å beskrive situasjonen som gir opphav til denne fordelingen.

Notasjon

Det benyttes ulike notasjoner for å spesifisere at en stokastisk variabel \(X\) er binomisk fordelt med parametre \(n\) og \(p.\) Det kanskje mest vanlige er å skrive \(X\sim \text{Bin}(n,p).\) En annen variant er å skrive \(X\sim b(x;n,p,)\) der \(b(x;n,p)\) betegner punktsannsynligheten til den angjeldende binomiske fordeling.

Punktsannsynlighet

La \({\cal C}^n_x\) betegne mengden av alle mulige delmengder av \(\{1,2,\ldots,n\}\) bestående av nøyaktig \(x\) elementer. Hvis \(n=5\) og \(x=3,\) vil vi da for eksempel ha at \(\{1,3,4\}\in{\cal C}^5_3.\) Generelt vil det da være en en-entydig sammenheng mellom elementene i \({\cal C}^n_x\) og rekkefølgen av suksesser og fiaskoer i en Bernoulli forsøksrekke av \(n\) forsøk der en har nøyaktig \(x\) suksesser. For eksempel vil en ha at elementet \(\{1,3,4\}\in {\cal C}^n_x\) tilsvarer at man har suksess i første, tredje og fjerde forsøk, og fiasko i andre og femte forsøk.

La så \(A\) betegne hendelsen at man får nøyaktig \(x\) suksesser i en Bernoulli forsøksrekke bestående av \(n\) forsøk, og for hver \(c\in {\cal C}^n_x\) la \(A_c\) betegne hendelsen at man i en Bernoulli forsøksrekke bestående av \(n\) forsøk får suksess i forsøk nummer \(k\) hvis og bare hvis \(k\in c.\) Da har man åpenbart at hendelsene \(A_c,c\in {\cal C}^n_x\) er diskjunkte og at \[A = \bigcup_{c\in {\cal C}^n_x} A_c.\] Dermed har vi at \[P(X=x)=P(A)=\sum_{c\in {\cal C}^n_x} P(A_c).\] Ved å benytte oss av at man i en Bernoulli forsøksrekke har at utfallene i de ulike forsøkene er uavhengige, samt multiplikasjonssetningen for uavhengige hendelser, får vi for hver \(c\in {\cal C}^n_x\) at

\[ \begin{align} P(A_c) &= \prod_{k\in c}P(\text{suksess i \(k\)'te forsøk}) \\ &\cdot \prod_{k\in\{1,2,\ldots,n\}\setminus c}P(\text{fiasko i \(k\)'te forsøk})\\ &= \prod_{k\in c}p \prod_{k\in\{1,2\ldots,n\}\setminus c} (1-p)\\ &= p^x(1-p)^{n-x}, \end{align} \]

der vi i siste overgang benyttet at antall elementer i \(c\) er \(x\) og at antall elementer i \(\{1,2\ldots,n\}\setminus c\) dermed vil være \(n-x.\) Dermed har vi at \[P(A) = \sum_{c\in{\cal C}^n_x} p^x (1-p)^{n-x}.\] Siden alle leddene i summen er like, gjenstår det bare å bestemme hvor mange ledd det er summen, dvs hvor mange elementer det er i mengden \({\cal C}^n_x.\) Her ser vi at hvert element \(c\in{\cal C}^n_x\) definerer en bestemt inndeling av elementene i \(\{1,2,\ldots,n\}\) i to grupper, nemlig gruppene \(c\) og \(\{1,2\ldots,n\}\setminus c.\) Antall elementer i mengden \({\cal C}^n_x\) er dermed lik antall måter å dele elementene i \(\{1,2,\ldots,n\}\) inn i to grupper der man skal ha nøyaktig \(x\) elementer i den ene gruppa og nøyaktig \(n-x\) elementer i den andre gruppa. Ifølge kombinatorikkregelen for inndeling i grupper finnes det \(\binom{n}{x}\) slike gruppeinndelinger. Antall ledd i summen over er dermed lik \(\binom{n}{x}\) og vi har \[P(X=x)=P(A)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\] for hver mulig verdi av \(x\), dvs for \(x=0,1,2,\ldots,n.\)

Eksempler på punktsannsynlighet

Figur 1 til 3 viser stolpediagram av punktsannsynligheten \(f(x)\) i en binomisk fordeling med \(n=10\) forsøk og med suksessansynlighet lik henholdsvis \(p=0.1,0.5\) og \(0.9.\) Man kan legge merke til at for \(p=0.5\) er \(f(x)\) symmetrisk om \(x=0.5,\) noe \(f(x)\) for en binomisk fordeling alltid vil være for denne verdien av \(p.\)

Figur 1: Punktsannsynlighet \(f(x)\) for en binomisk fordeling med \(n=10\) og \(p=0.1.\)

Figur 2: Punktsannsynlighet \(f(x)\) for en binomisk fordeling med \(n=10\) og \(p=0.5.\)

Figur 3: Punktsannsynlighet \(f(x)\) for en binomisk fordeling med \(n=10\) og \(p=0.8.\)

Forventningsverdi og varians

Det er mulig å finne \(\text{E}[X]\) ved å ta utgangspunkt i definisjonen av forventningsverdi, dvs ved å ta utgangspunkt i \[\text{E}[X] = \sum_{x=0}^n x \cdot \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x},\] men regningen blir enklere hvis man i stedet starter med å definere

\[ Z_i=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{hvis man får suksess i \(i\)'te forsøk},\\ 0 & \mbox{ellers,}\end{array}\right. \]

for \(i=1,2,\ldots,n.\) Da har man åpenbart at \[X = \sum_{i=1}^n Z_i.\] Man kan dermed finne forventningsverdi og varians til \(X\) ved først å regne ut \(\text{E}[Z_i]\) og \(\text{Var}[Z_i]\) og så etterpå bruke regneregler for forventningsverdi og varians til lineære funksjoner. Fra definisjonen av forventningsverdi og definisjonen av \(Z_i\) har vi at

\[ \begin{align} \text{E}[Z_i] &= \sum_{z=0}^1 z \cdot P(Z_i=z)\\ &= 0\cdot P(Z_i=0) + 1\cdot P(Z_i=1)\\ &= P(Z_i=1) = p. \end{align} \]

Ved å bruke regneregler for forventningsverdi til en lineær funksjon får vi dermed

\[ \begin{align} \text{E}[X] &= \text{E}\left[ \sum_{i=1}^n Z_i\right]\\ &= \sum_{i=1}^n \text{E}[Z_i]\\ &= \sum_{i=1}^n p = np, \end{align} \]

som var det vi skulle bevise for \(\text{E}[X].\)

For å finne variansen til \(X\) starter vi tilsvarende som for forventningsverdien, ved å bestemme \(\text{Var}(Z_i).\) Vi har en generell regneregel som her gir at \[\text{Var}[Z_i] = \text{E}[Z_i^2]-\text{E}[Z_i]^2.\] Ved å benytte regneregelen for forventningsverdien til en funksjon av en stokastisk variabel og definisjonen av \(Z_i\) får vi

\[ \begin{align} \text{E}[Z_i^2] &= \sum_{z=0}^1 z^2 \cdot P(Z_i=z)\\ &= 0^2\cdot P(Z_i=0) + 1^2\cdot P(Z_i=1)\\ &= P(Z_i=1) = p, \end{align} \]

og dermed at

\[ \begin{align} \text{Var}[Z_i] &= \text{E}[Z_i^2] - \text{E}[Z_i]^2\\ &= p - p^2 = p(1-p). \end{align} \]

Siden forsøkene i en Bernoulli forsøksrekke er uavhengige får vi at \(Z_1,Z_2,\ldots,Z_n\) er uavhengige stokastiske variabler. Ved å bruke regneregler for varians til lineær funksjon av uavhengige stokastiske variabler får vi dermed

\[ \begin{align} \text{Var}[X] &= \text{Var}\left[\sum_{i=1}^n Z_i\right]\\ &= \sum_{i=1}^n \text{Var}[Z_i]\\ &= \sum_{i=1}^n p(1-p) = np(1-p), \end{align} \]

som var det vi skulle bevise.

Kumulativ fordelingsfunksjon

Kumulativ fordelingsfunksjon kan finnes ved å benytte generell sammenheng mellom \(f(x)\) og \(F(x).\) For \(x=0,1,2,\ldots,n\) får vi her

\[ F(x) = \sum_{t=0}^x \binom{n}{t}p^t (1-p)^{n-t}. \]

Generelt kan denne summen dog ikke skrives på noen enkel analytisk form. Når man har behov for å evaluere kumulativ fordelingsfunksjon i en binomisk fordeling har man tre muligheter.

Man kan numerisk regne ut summen over. Dette er mest aktuelt dersom \(x\) er svært liten.
Man kan benytte et dataprogram der evaluering av \(F(x)\) er implementert.
Man kan benytte en statistisk tabell hvor \(F(x)\) er tabulert for en del verdier av \(n,\) \(p\) og \(x.\)

Sammenheng med andre fordelinger

Det finnes sammenhenger mellom binomisk fordeling og en del andre fordelinger. Disse sammenhengene diskuteres på følgende temasider:

Relevante lenker

Eksempler:
- Regne ut sannsynligheter i en binomisk fordeling
- Regne ut sannsynligheter i en binomisk fordeling ved hjelp av normaltilnærming
Regneregler:
- Sum av uavhengige binomisk fordelte variabler
Videoer:
- Binomisk fordeling (0:18:14, Mette Langaas)
Eksamensoppgaver:
- TMA4245 Statistikk 2019H [nb] [nn] [en] oppgave 4a
  Løsningsforslag: [en]
- TMA4245 Statistikk 2019S [nb] [nn] [en] oppgave 6a
  Løsningsforslag: [nn]
- TMA4245 Statistikk 2019V [nb] [nn] [en] oppgave 1a
  Løsningsforslag: [nn]
- TMA4245 Statistikk 2016H [nb] [nn] [en] oppgave 1b
  Løsningsforslag: Video [nb]
- TMA4245 Statistikk 2015H [nb] [nn] [en] oppgave 3b
  Løsningsforslag: [nb]
- TMA4245 Statistikk 2015S [nb] [nn] [en] oppgave 2a
  Løsningsforslag: [nb]
- TMA4245 Statistikk 2014S [nb] [nn] oppgave 1b
  Løsningsforslag: [nb]
- TMA4245 Statistikk 2014V [nb] [nn] [en] oppgave 1c
  Løsningsforslag: [nn]