Testobservator

Når man i en hypotesetestingssituasjon har formulert \(H_0\) og \(H_1\) er neste steg å formulere en beslutningsregel som skal brukes til å avgjøre om man skal forkaste \(H_0\) eller ikke forkaste \(H_0.\) Første steg for å formulere en slik beslutningsregel er å bestemme seg for en passende observator som kan brukes til å avgjøre hvilken beslutning man skal ta. En slik observator kalles en testobservator og man bruker verdien denne testobservatoren får når man setter inn observerte verdier til å bestemme hvilken beslutning man skal ta. Beslutningsregelen vil typisk være at man enten skal forkaste \(H_0\) dersom den observerte verdien til testobservatoren er større enn en spesifisert grenseverdi, eller at man skal forkaste \(H_0\) dersom den observerte verdien er mindre enn en spesifisert grenseverdi, eller at man skal forkaste dersom den observerte verdien er større enn en grenseverdi eller mindre enn en annen spesifisert grenseverdi.

På temasiden du ser på nå diskuterer vi hvilke egenskaper testobservatoren må ha. Selve beslutningsregelen for hypotesetesten og hvordan man skal bestemme grenseverdien(e) som sammen med testobservatoren skal benyttes til å bestemme om man skal forkaste \(H_0\) eller ikke diskuterer vi på en egen temaside.

Testobservator

Vi starter med å definere hva vi skal mene med en testobservator.

Kommentarer

Anta at vi er i situasjonen angitt i definisjonen over og at nullhypotesen er \(H_0:\theta = \theta_0,\) der \(\theta_0\) altså er et kjent tall. En testobservator vil da typisk være en funksjon av \(X_i\)-ene og av verdien \(\theta_0.\) Hvis vi betegner testobservatoren med \(T\) kan vi dermed skrive \[T = u(X_1,X_2,\ldots,X_n,\theta_0),\] der \(u\) er en funksjon som angir hvilken testobservator man har valgt.

Definisjonen over angir at en testobservator \(T=u(X_1,X_2,\ldots,X_n)\) må oppfylle følgende to krav:

  • En testobservator må være en observator. Dette betyr at når vi har observert verdier \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) for de stokastiske variablene \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) må vi være i stand til å regne ut og få et tall for \(t_{\tiny \text{obs}}=u(x_1,x_2,\ldots,x_n,\theta_0).\) Funksjonen \(u\) kan altså ikke være en funksjon av parametre som vi ikke kjenner verdien til.
  • Vi må kjenne hvilken sannsynlighetsfordeling testobservatoren \(T\) har når nullhypotesen \(H_0\) er riktig. Man bør merke seg at det ikke er tilstrekkelig å vite hvilken type sannsynlighetsfordeling \(T\) har, vi må også kjenne parameterverdiene i fordelingen. Det er for eksempel ikke nok å vite at \(T\) er normalfordelt når \(H_0\) er riktig, man må også kjenne verdiene til forventningsverdi og varians.

Hvorfor en testobservator må oppfylle disse to kravene blir klart når man skal bruke testobservatoren til å lage en beslutningsregel.

Mye brukte testobservatorer

Testobservatorer for de mest vanlige situasjonene er nært knyttet til og kan finnes fra pivotalene som brukes for å utlede konfidensintervall i tilsvarende situasjoner. En passende testobservator finnes ved å starte med pivotalen som brukes til å utlede et konfidensintervall og så erstatte verdien til den ukjente parameteren med verdien parameteren har når \(H_0\) er riktig. For eksempel, for normalfordeling ett-utvalg med \(\sigma^2\) kjent er pivotalen man tar utgangspunkt i for å utlede konfidensintervall \[\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}.\] Med \(H_0: \mu=\mu_0\) får man da en testobservator ved å erstatte \(\mu\) med \(\mu_0\) i dette uttrykket. Testobservatoren blir dermed \[\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}.\] Siden pivotalen vi tok utgangspunkt i her er standard normalfordelt, vil også testobservatoren være standard normalfordelt når \(H_0\) er riktig (siden \(\mu_0\) jo er lik \(\mu\) når \(H_0\) er riktig).