Uniform sannsynlighetsmodell og urnemodellen

For en del stokastiske forsøk er det naturlig å si at alle mulige enkeltutfall er like sannsynlige. Vi sier da at vi har en uniform sannsynlighetmodell. For en slik modell kan man finne sannsynligheten for enhver hendelse \(A\) ved rett og slett å telle hvor mange enkeltutfall som er i \(A\) og hvor mange enkeltutfall som er i hele utfallsrommet \(S\). I mange slike situasjoner blir det enklere å bestemme antall enkeltutfall i henholdsvis \(A\) og \(S\) dersom man starter med å observere at situasjonen vi er interessert i er ekvivalent med hva vi har i en såkalt urnemodell.

Uniform sannsynlighetsmodell

Vi starter med å definere presist hva vi mener med en uniform sannsynlighetsmodell.

Sannsynligheter i en uniform sannsynlighetsmodell

Når vi har en uniform sannsynlighetsmodell viser det seg at for enhver hendelse \(A\) vil \(P(A)\) være lik antall enkeltutfall i hendelsen \(A\) delt på totalt antall enkeltutfall i utfallsrommet \(S\). Man sier gjerne at sannsynligheten er lik «antall gunstige utfall» delt på «antall mulige utfall». På temasiden «Sannsynligheter i en uniform sannsynlighetsmodell» er dette resultatet formulert som et teorem, og resultatet er bevist.

Unntatt i svært enkle situasjoner vil både antall gunstige utfall og antall mulige utfall være svært store tall og det er i praksis ikke gjennomførbart å bestemme disse ved å telle opp antall enkeltutfall i henholdsvis \( A\) og \( S\). Til bruk i slike situasjoner finnes det en del telleregler som ofte relativt enkelt gir antall enkeltutfall i \( A\) og \(S\). Dette kalles kombinatorikk. Flere av de tellereglene man ofte får bruk for er relatert til det som kalles en urnemodell.

Urnemodell

I en urnemodell antar vi at vi har en urne med \( n\) kuler. Alle kulene er identifiserbare, for eksempel ved at de er nummererte fra \( 1\) til \( n\). Vi antar så at vi trekker \( r\) kuler fra urna og registrerer hvilke kuler vi har trukket ut. Kulene kan trekkes «med tilbakelegging» eller «uten tilbakelegging». Hvis de trekkes med tilbakelegging betyr dette at ei kule som er trukket ut legges tilbake i urna før neste kule trekkes. Dermed kan samme kule trekkes ut flere ganger. Dersom vi trekker uten tilbakelegging vil ei kule som er trukket ut ikke legges tilbake i urna, slik at samme kule ikke kan trekkes ut flere ganger. Det er også vanlig å se på to måter å registrere hvilke kuler som er trukket ut. Hvis vi registrerer både hvilke kuler som blir trukket ut og i hvilken rekkefølge de trekkes ut får vi det som kalles et «ordnet utvalg». Alternativet er at vi ikke bryr oss om rekkefølgen kulene blir trukket ut, og dermed kun registrere hvilke kuler som er blitt trukket ut. Dette kalles et «ikke-ordnet utvalg». Ved å kombinere hver av de to måtene for å trekke kuler med hver av de to måtene å registrere hva vi har trukket ut kan vi dermed definere fire situasjoner,

og for hver av disse fire situasjonene kan vi spørre oss hvor mange resultater, eller utfall, som er mulige. Vi formulerer telleregler for tre av disse fire situasjonene. Den er ikke vanlig å formulere en telleregel for den siste situasjonen, siden man her ganske lett kan finne antall resultater, eller utfall, ved å benytte den mer generelle multiplikasjonssetningen.