Transformasjon av en stokastisk variabel
La \(X\) være en stokastisk variabel med punktsannsynlighet eller sannsynlighetstetthet \(f_X(x).\) Anta at vi så bruker \(X\) til å definere en ny stokastisk variabel \(Y=u(X),\) der \(u(x)\) er en gitt matematisk funksjon. Hvilken punktsannsynlighet eller sannsynlighetstetthet \(f_Y(y)\) har da \(Y?\) Hvordan man best kan regne ut \(f_Y(y)\) er avhengig av hvilke egenskaper funksjonen \(u(x)\) har. Hvis \(u(x)\) er en-entydig kan man formulere relativt enkle teoremer som spesifiserer hvordan \(f_Y(y)\) er. Hvis \(u(x)\) ikke er en-entydig blir regningen gjerne enklest ved å regne ut kumulativ fordelingsfunksjon \(F_Y(y)\) først, for så å bestemme \(f_Y(y)\) fra \(F_Y(y)\) etterpå.
På temasiden du ser på nå diskuterer vi det generelle tilfellet, dvs hvordan vi kan bestemme \(f_Y(y)\) for en vilkårlig funksjon \(u(x),\) ved først å regne ut \(F_Y(y).\) Det er verdt å merke seg at denne måten å regne på selvfølgelig er riktig også når funksjonen \(u(x)\) er en-entydig, og noen synes dette blir enklere og mer intuitivt enn å benytte de spesielle formlene som bare gjelder når \(u(x)\) er en-entydig. Formlene som gjelder for \(f_Y(y)\) når funksjonen \(u(x)\) er en-entydig diskuterer vi på to separate temasider, der vi på den ene siden diskuterer en-entydig transformasjon av en diskret stokastisk variabel og på den andre en-entydig transformasjon av en kontinuerlig stokastisk variabel.
Transformasjon av en stokastisk variabel
Anta at \(X\) har punktsannsynlighet eller sannsynlighetstetthet \(f_X(x)\) og at \(Y=u(X),\) der \(u(x)\) er en gitt matematisk funksjon. Dersom \(X\) er en diskret stokastisk variabel får vi fra definisjonen av kumulativ fordelingsfunksjon og definisjonen av punktsannsynlighet at kumulativ fordelingsfunksjon for \(Y\) blir
\[ \begin{align} F_Y(y) &= P(Y\leq y) \\ &= P(X\in \{x: u(x)\leq y\})\\ &= \sum_{x:u(x)\leq y} f_X(x), \end{align} \]
der summen er over alle mulige verdier for \(x\) slik at \(u(x)\leq y.\)
Dersom \(X\) er en kontinuerlig stokastisk variabel får vi fra definisjonen av kumulativ fordelingsfunksjon og definisjonen av sannsynlighetstetthet at kumulativ fordelingsfunksjon for \(Y\) blir
\[ \begin{align} F_Y(y) &= P(Y\leq y) \\ &= P(X\in \{x: u(x)\leq y\})\\ &= \int_{\{x:u(x)\leq y\}} f_X(x)\text{d}x, \end{align} \]
der integralet er over alle mulige verdier av \(x\) slik at \(u(x)\leq y.\) Man skal merke seg at mengden \(\{x:u(x)\leq y\}\) som det her skal integreres over kan være en union av flere intervaller.
Når man har funnet \(F_Y(y)\) kan man bruke generell sammenheng mellom \(F_Y(y)\) og \(f_Y(y)\) til å bestemme \(f_Y(y).\)
Kommentarer
Formlene for kumulativ fordelingsfunksjon \(F_Y(y)\) som er gitt over kan nok for mange fremstå som litt abstrakte og kanskje litt vanskelige å få skikkelig tak på. En alternativ inngang til forståelse av denne måten å regne på er å se på eksempler hvor man regner ut \(F_Y(y)\) for spesifiserte fordelinger \(f_X(x)\) og funksjoner \(u(x).\) Den store fordelen ved å se på eksempler er at man da kan plotte opp funksjonen \(y=u(x)\) og da blir det ofte ganske enkelt å se hva mengden \(\{x:u(x)\leq y\}\) er. Linker til temasider med eksempler finnes under overskriften «Eksempler» nederst på siden du ser på nå.
Merk at det ofte ikke er mulig å finne noe analytisk uttrykk for summen eller integralet som inngår i uttrykket for \(F_Y(y).\) Men selv om man bare representerer \(F_Y(y)\) ved en sum eller et integral er det ofte mulig å finne et analytisk uttrykk for \(f_Y(y).\) Linker til temasider med eksempler hvor dette er tilfelle finnes igjen under overskriften «Eksempler» nederst på siden du ser på nå.
En-entydig transformasjon
Dersom transformasjonen er en-entydig, dvs dersom funksjonen \(u(x)\) er en-entydig, kan man relativt enkelt regne ut \(f_Y(y)\) direkte, uten å gå veien om den kumulative fordelingsfunksjonen \(F_Y(y).\) Dette er diskutert på separate temasider, der den ene temasiden diskuterer en-entydig transformasjon av en diskret stokastisk variabel og den andre siden diskuterer en-entydig transformasjon av en kontinuerlig stokastisk variabel.