Transformasjonsformel for kontinuerlig variabel

Regneregel

La \(X\) være en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet \(f_X(x)\) og la \(Y=u(X),\) der \(u(x)\) er en gitt strengt monoton funksjon. I denne situasjonen er det relativt enkelt å bestemme sannsynlighetstettheten til \(Y,\) \(f_Y(y).\)

Transformasjonsformel for kontinuerlig variabel

Vi starter med å formulere teoremet som gir hva sannsynlighetstettheten \(f_Y(y)\) blir.

Transformasjonsformel for kontinuerlig variabel

En strengt monoton funksjon er enten strengt voksende eller strengt avtagende. Vi beviser først teoremet for tilfellet at \(u(X)\) er strengt voksende og deretter for tilfellet at \(u(X)\) er strengt avtagende.

Bevis når \(u(X)\) er strengt voksende: Når \(u(X)\) er strengt voksende vil også den tilhørende inverse funksjonen, \(w(Y),\) være strengt voksende. Som illustrert i figur 1 vil vi da, for vilkårlige verdier \(a<b\) ha at \(w(a)<w(b),\) og dermed vil vi også ha at \[a < Y < b ~~ \Leftrightarrow ~~ w(a) < X < w(b).\]

Figur 1: Illustrasjon av at \(a<b \Rightarrow w(a)<w(b)\) når \(w(\cdot)\) er den inverse funksjonen til en strengt voksende funksjon \(u(\cdot).\)

Dermed må vi også ha \[P(a<Y<b) = P(w(a) < X < w(b)).\] Sannsynlighetstettheten til \(X\) er \(f_X(x)\) og vi lar \(f_Y(y)\) betegne sannsynlighetstettheten til \(Y\). De to sannsynlighetene i ligningen over kan dermed skrives som integraler over sine respektive sannsynlighetstettheter, \[P(a<Y<b) = \int_a^b f_Y(y)\text{d}y\] og \[P(w(a) < X < w(b)) = \int_{w(a)}^{w(b)} f_X(x)\text{d}x.\] Siden de to sannsynlighetene er like må altså også disse to integralene være like. Vi kan omskrive det siste av de to integralene ved å substituere med \(x=w(y)\Leftrightarrow y=u(x)\), der \(\text{d}x = w^\prime(y)\text{d}y\), \begin{align}\int_{w(a)}^{w(b)} f_X(x)\text{d}x &= \int_{u(w(a))}^{u(w(b))} f_X(w(y))\cdot w^\prime(y)\text{d}y\\ &= \int_{a}^{b} f_X(w(y)) \cdot w^\prime(y)\text{d}y,\end{align} der vi i den siste overgangen har benyttet at \(u(x)\) og \(w(y)\) er inverse funksjoner slik at \(u(w(a))=a\) og \(u(w(b))=b\). Dermed har vi at \[\int_a^b f_Y(y)\text{d}y = \int_{a}^{b} f_X(w(y)) \cdot w^\prime(y)\text{d}y,\] og dette skal gjelde for alle \(a<b\). Dette kan bare skje ved at integrandene er like, \[f_Y(y) = f_X(w(y)) \cdot w^\prime(y).\] Siden er \(w(y)\) er en strengt voksende funksjon er \(w^\prime(y)\geq 0\) slik at dette også kan skrives som \[f_Y(y) = f_X(w(y)) \cdot |w^\prime(y)|\] og teoremet er bevist for tilfellet at \(u(X)\) er strengt voksende.

Bevis når \(u(X)\) er strengt avtagende: Beviset når \(u(X)\) er strengt avtagende er i store trekk tilsvarende som når \(u(X)\) er strengt voksende, men noen viktige detaljer blir annerledes. Når \(u(X)\) er strengt avtagende er den inverse funksjonen \(w(Y)\) også strengt avtagende. Som illustrert i figur 2 vil vi da, for vilkårlige verdier \(a<b\) ha at \(w(a)>w(b)\) og dermed at \[a < Y < b ~~ \Leftrightarrow ~~ w(b) < X < w(a).\]

Figur 2: Illustrasjon av at \(a<b\Rightarrow w(a) > w(b)\) når \(w(\cdot)\) er den inverse funksjonen til en strengt avtagende funksjon \(u(\cdot).\)

Dermed må vi også ha \[P(a<Y<b) = P(w(b) < X < w(a)).\] De to sannsynlighetene i ligningen over kan også nå skrives som integraler over sine respektive sannsynlighetstettheter, \[P(a<Y<b) = \int_a^b f_Y(y)\text{d}y\] og \[P(w(b) < X < w(a)) = \int_{w(b)}^{w(a)} f_X(x)\text{d}x.\] Siden de to sannsynlighetene er like må igjen disse to integralene være like. Også nå kan vi omskrive det siste integralet ved å substituere med \(x=w(y)\Leftrightarrow y=u(x)\), der \(\text{d}x = w^\prime(y)\text{d}y\), \begin{align}\int_{w(b)}^{w(a)} f_X(x)\text{d}x &= \int_{u(w(b))}^{u(w(a))} f_X(w(y))\cdot w^\prime(y)\text{d}y\\ &= \int_{b}^{a} f_X(w(y)) \cdot w^\prime(y)\text{d}y\\ &= - \int_{a}^{b} f_X(w(y)) \cdot w^\prime(y)\text{d}y,\end{align} der vi i den andre overgangen har benyttet at \(u(x)\) og \(w(y)\) er inverse funksjoner slik at \(u(w(a))=a\) og \(u(w(b))=b\), og i den siste overgangen har vi benyttet at et integral bytter fortegn når integrasjonsgrensene byttes om. Dermed har vi at \[\int_a^b f_Y(y)\text{d}y = - \int_{a}^{b} f_X(w(y)) \cdot w^\prime(y)\text{d}y,\] og dette skal gjelde for alle \(a<b\). Dette kan bare skje ved at integrandene er like, \[f_Y(y) = - f_X(w(y)) \cdot w^\prime(y).\] Siden \(w(y)\) er en strengt avtagende funksjon er \(w^\prime(y)\leq 0\) slik at dette også kan skrives som \[f_Y(y) = f_X(w(y)) \cdot |w^\prime(y)|\] og teoremet er dermed bevist også for tilfellet at \(u(X)\) er strengt avtagende.

Beregning av \(f_Y(y)\)

En trinn for trinn beskrivelse av hvordan man kan regne ut \(f_Y(y)\) basert på teoremet over er gitt på en egen temaside.

Tolkning

I teoremet forutsettes det at sammenhengen mellom \(X\) og \(Y=u(X)\) er strengt monoton. I praksis betyr dette at \(u(x)\) enten er en strengt voksende eller strengt avtagende funksjon. Dersom \(u(x)\) er en strengt voksende funksjon må man ha at \begin{align}P(a < X < b) &= P(u(a) < u(X) < u(b))\\ &= P(u(a) < Y < u(b))\end{align} for enhver \(a<b\). Hvis vi uttrykker sannsynlighetene \(P(a<X<b)\) og \(P(u(a)<Y<u(b))\) som integraler over de respektive sannsynlighetstetthetene får vi dermed at vi må ha \[\int_a^b f_X(x)\text{d}x = \int_{u(a)}^{u(b)} f_Y(y)\text{d}y,\] og det er denne integralligningen som gir at \(f_Y(y)\) må være som gitt i teoremet. I figur 1 og 2 er dette illustrert for tilfellet \(X\sim n(x;0,1)\) og \(Y=u(X) = e^X\) når \(a=-0.5\) og \(b=1\). Arealet av det grønne området i intervallet \((-0.5,1)\) i figur 1 er altså her lik arealet av det grønne området i intervallet \((e^{-0.5},e^1)=(0.6065,2.7183)\) i figur 2.

Figur 1: Illustrasjonen av sannsynligheten \(P(-0.5<X<1)\) når \(X\sim n(x;0,1).\)

Figur 2: Illustrasjonen av sannsynligheten \(P(e^{-0.5}<Y<e^1)\) når \(Y=e^X\) og \(X\sim n(x;0,1).\)

Dersom \(u(x)\) er en strengt avtagende funksjon blir situasjonen litt annerledes. Da må man ha at \[P(a<X<b) = P(u(b) < u(X) < u(a)) = P(u(b) < Y < u(a))\] for enhver \(a<b\). Hvis vi nå uttrykker sannsynlighetene som integraler over de respektive sannsynlighetstetthetene får vi integralligningen \[\int_a^b f_X(x) \text{d}x = \int_{u(b)}^{u(a)} f_Y(y)\text{d}y\] som igjen gir at \(f_Y(y)\) må være som gitt i teoremet. Denne situasjonen er illustrert i figur 3 og 4 for tilfellet at \(X\) er uniformfordelt på \([0,1]\) og \(Y=u(X)=-\ln X/0.6\) når \(a=0.25\) og \(b=0.75\). Arealet av det grønne området i intervallet \((0.25,0.75)\) i figur 3 er altså her lik arealet av det grønne området i intervallet \((-\ln(0.75)/0.6,-\ln(0.25)/0.6)\)\(=(0.4795,2.3105)\) i figur 4.

Figur 3: Illustrasjonen av sannsynligheten \(P(0.25<X<0.75)\) når \(X\sim \text{Unif}(0,1).\)

Figur 4: Illustrasjonen av sannsynligheten \(P(-\ln(0.75)/0.6<Y<-\ln(0.25)/0.6)\) når \(Y=-\ln(X)/0.6\) og \(X\sim \text{Unif}(0,1).\)

Generaliseringer

Teoremet gitt her kan generaliseres i ulike retninger. Man kan formulere et teorem som sier hva som skjer hvis \(u(X)\) ikke er én-entydig, og man kan også angi hva som skjer når man har én-entydige transformasjoner av mer en én stokastisk variabel. Begge disse generaliseringene er diskutert i læreboka vi benytter.