Uavhengige stokastiske variabler
Vi har tidligere definert hva vi mener med at to hendelser er uavhengige. Dessuten har vi sett hvordan vi kan bruke en stokastisk variabel til å definere en hendelse. Ved å kombinere disse to ideene kan vi nå også definere hva vi skal mene med at to stokastiske variabler er uavhengige. Essensielt sier vi at to stokastiske variabler \(X\) og \(Y\) er uavhengige hvis enhver hendelse som kan defineres ved hjelp av \(X\) er uavhengig av enhver hendelse som kan defineres ved hjelp av \(Y\).
Uavhengige stokastiske variabler
Vi starter med å angi en presis matematisk definisjon av hva vi skal mene med at to stokastiske variabler er uavhengige.
Kommentar
Definisjonen over gjelder for både diskrete og kontinuerlige stokastiske variabler. Hvis \(X\) og \(Y\) er diskrete stokastiske variabler angir fordelingene over punktsannsynligheter, mens hvis \(X\) og \(Y\) er kontinuerlige stokastiske variabler angir de sannsynlighetstettheter.
Tolkning
Man kan vise at hvis \(X\) og \(Y\) er uavhengige så vil det at man får opplyst om verdien til den ene av de to stokastiske variablene ikke endre sannsynlighetsfordelingen til, og dermed vår kunnskap om, den andre stokastiske variabelen. Matematisk kan dette formuleres som følger. Hvis \(X\) og \(Y\) er uavhengige så kan man vise at \[f_{Y|X}(y\ |\ x)=f_Y(y) \] for alle \(x\) der \(f_X(x)>0\). Hvis \(X\) og \(Y\) er uavhengige vil følgelig det at man får opplyst om verdien til \(X\) ikke endre sannsynlighetsfordelingen til \(Y.\) Tilsvarende kan man vise at hvis \(X\) og \(Y\) er uavhengige så vil \[f_{X|Y}(x\ |\ y)=f_X(x)\] for alle \(y\) der \(f_Y(y)>0.\) Hvis \(X\) og \(Y\) er uavhengige vil følgelig det at man får opplyst om verdien til \(Y\) ikke endre sannsynlighetsfordelingen til \(X.\)
Generalisering til flere stokastiske variabler
Hvis man har \(n\) stokastiske variabler \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) som er uavhengige og (marginal)fordelingen til \(X_i\) er \(f_{X_i}(x_i)\) for \(i=1,2,\ldots,n\) så vil simultanfordelingen for \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) være
\[ \begin{align} &f_{X_1,X_2,\ldots,X_n}(x_1,x_2,\ldots,x_n) \\&= f_{X_1}(x_1)\cdot f_{X_2}(x_2)\cdot\ldots\cdot f_{X_n}(x_n)\\ &= \prod_{i=1}^n f_{X_i}(x_i). \end{align} \]