Kovarians

Vi starter med å definere hva vi skal mene med kovariansen mellom to stokastiske variabler.

Notasjon

Det benyttes ulike notasjoner for kovariansen mellom to stokastiske variabler. Den mest vanlige er kanskje \(\text{Cov}[X,Y]\) som benyttes i definisjonen over. Symbolet \(\sigma_{XY}\) benyttes ofte også, der indeksene angir hvilke stokastiske variabler \(\sigma_{XY}\) er kovariansen mellom.

Tolkning av kovarians

Det er først og fremst fortegnet til kovariansen det er vanlig å tolke. Dersom \(\text{Cov}[X,Y]>0\) vil store verdier av \(X\) tendere til å komme sammen med store verdier av \(Y\) og små verdier av \(X\) tendere til å komme sammen med små verdier av \(Y\), slik at man kan si at \(X\) og \(Y\) tenderer til å gå i takt. Dersom \(\text{Cov}[X,Y]<0\) er det motsatt. Da vil store verdier av \(X\) tendere til å komme sammen med små verdier av \(Y\) og små verdier av \(X\) tendere til å komme sammen med store verdier av \(Y\), og man kan si at \(X\) og \(Y\) tenderer til å gå i utakt. Figur 1 viser genererte par \((x,y)\) fra en simultan sannsynlighetsfordeling hvor \(\text{Cov}[X,Y]>0\), mens figur 2 og 3 viser tilsvarende for sannsynlighetsfordelinger hvor henholdsvis \(\text{Cov}[X,Y]=0\) og \(\text{Cov}[X,Y]<0\).

Kommentar

Som nevnt over er det kun vanlig å tolke fortegnet til kovariansen. Før man prøver å tolke tallverdien til kovariansen er det vanlig å standardisere kovariansen slik at man får et tall i intervallet \([-1,1]\). Denne standardiserte kovariensen kalles korrelasjon.

Kovarians er definert som en forventningsverdi og dette gjør at man kan benytte regneregler for forventningsverdi til å utlede en del regneregler for kovarians. Link til temasider hvor disse regnereglene er formulert og diskutert finnes under «Regneregler» nederst på denne siden.