Ordningsvariabler
Anta at vi har uavhengige stokastiske variabler \(X_1,X_2\ldots,,X_n\) og at vi er interessert i sannsynlighetsfordelingen til den \(k\)-te minste av disse. Det er vanlig å betegne denne \(k\)-te minste som \(X_{(k)},\) og å omtale \(X_{(1)},X_{(2)},\ldots,X_{(n)}\) som ordningsvariabler. Spesielt blir \(X_{(1)}\) og \(X_{(n)}\) lik henholdsvis den minste og den største av \(X_i\)-ene, og disse to kalles ekstremvariabler. På temasiden du ser på nå definerer vi ordningsningsvariabler. Dersom man i tillegg til å anta at \(X_i\)-ene er uavhengige også antar at alle \(X_i\)-ene har samme sannsynlighetsfordeling kan man utlede en formel for sannsynlighetsfordelingen til hver ordningsvariabel \(X_{(k)},\) noe som er gjøres på en egen temaside.
Ordningsvariabler
Vi starter men en formell definisjon av ordningsvariabler.
Kommentarer
Man bør merke seg at man alltid vil ha at \[X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq \ldots \leq X_{(n)}.\]
Man kan merke seg at \(X_{(k)}\) er en funksjoner av de stokastiske variablene \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) selv om det ikke er vanlig å benytte den vanlige funksjonsnotasjonen \(u(X_1,X_2,\ldots,X_n)\) i forbindelse med ordningsvariabler.
Spesialtilfeller
Ekstremvariablene \(X_{(1)}=\min\{ X_1,X_2,\ldots,X_n\}\) og \(X_{(n)} = \max\{ X_1,X_2,\ldots,X_n\}\) er også ordningsvariabler. Dersom \(n\) er odde er medianen \(\text{median}(X_1,X_2,\ldots,X_n) = X_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}\) også en ordningsvariabel.
Illustrasjon
Anta at man har et system bestående av \(n\) komponenter og at \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er levetiden til hver av disse \(n\) komponentene. Anta videre at systemet kun fungerer så lenge minst \(k\) av de \(n\) komponentene fungerer. Da blir \(X_{(k)}\) levetiden til systemet.
Sannsynlighetsfordeling for \(X_{(k)}\)
For å utlede en enkel formel for sannsynlighetsfordelingen til \(X_{(k)}\) trenger man å anta mer om sannsynlighetsfordelingene til \(X_i\)-ene enn det som er gjort i definisjonen gitt over. Når man skal regne på ordningsvariabler er det mest vanlig å anta at alle \(X_i\)-ene har samme sannsynlighetsfordeling, noe som gjør det mulig å utlede en ganske enkel formel for sannsynlighetsfordelingen til ordningsvariablene. Dette er diskutert på en egen temaside.