Regneprosedyre: Transformasjonformel for kontinuerlig variabel

Anta at vi har en kontinuerlig stokastisk variabel \(X\) med sannsynlighetstetthet \(f_X(x).\) Definer så en ny stokastisk variabel \(Y=u(X),\) der \(u(x)\) er en strengt monoton funksjon. Vi ønsker så å bestemme sannsynlighetstettheten til \(Y,\) som vi betegner med \(f_Y(y).\)

For å bestemme \(f_Y(y)\) tar vi utgangspunkt i transformasjonsformelen for en kontinuerlig variabel, som sier at \(f_Y(y)\) er gitt ved formelen \[f_Y(y) = f_X(w(y)) \cdot |w^\prime(y)|,\] der \(w(y)\) er den inverse funksjonen av \(u(x).\)

Fremgangsmåten for å utlede en formel for \(f_Y(y)\) er:

1. Bestem hva de mulige verdiene for \(Y\) er. Ta utgangspunkt i \(Y=u(X)\) og se hva som er de mulige verdier for \(Y\) når \(X\) varierer over de mulige verdiene for \(X\).
2. Finn den inverse funksjonen \(w(y)\). For å finne denne starter man med den gitte sammenhengen \[y=u(x),\] og det er nå mest hensiktsmessig å benytte små bokstaver \(x\) og \(y\) i stedet for de stokastiske variablene \(X\) og \(Y\). Man betrakter så dette som en ligning med \(x\) som den ukjente og løser ligningen. Løsningen for \(x\) blir altså en funksjon av \(y\), og dette er funksjonen \(w(y)\).
3. Finn den deriverte \(w^\prime(y)\). Her bruker man de vanlige derivasjonsreglene man kjenner fra matematikken.
4. Finn absoluttverdien \(|w^\prime(y)|\). Man vil enten ha at \(w^\prime(y)\) er større enn eller lik null for alle verdier av \(y\) eller mindre enn eller lik null for alle verdier av \(y\). For å finne absoluttverdien må man finne ut hvilken av disse to situasjonene som er tilfelle. Dersom \(w^\prime(y)\) er positiv har man åpenbart at \(|w^\prime(y)|=w^\prime(y)\), mens dersom \(w^\prime(y)\) er negativ får man at \(|w^\prime(y)|=-w^\prime(y)\). Man skal være litt på vakt når man avgjør om \(w^\prime(y)\) er positiv eller negativ, da et uttrykk som ved første øyekast kan se ut til å være postivt kan faktisk være negativt, og motsatt. Dersom \(y\in [0,1]\) må man for eksempel huske på at \(\ln (y)\) er negativ.
5. Finn uttrykk for \(f_X(w(y))\). Dette gjør man ved å starte med uttrykket man har for \(f_X(x)\) og så erstatte alle forekomster av \(x\) i dette uttrykket med \(w(y)\).
6. Gang sammen uttrykkene du har for \(f_X(w(y))\) og \(|w^\prime(y)|\) og få \[ f_Y(y) = f_X(w(y)) \cdot |w^\prime(y)|.\]

Nederst på siden finner du lenke til et eksempel hvor beregningsprosedyren over er benyttet.