Bruke transformasjonsformelen til å finne \(f_Y(y)\) når \(Y=e^{-X}\) og \(X\sim \text{Exp}(\lambda)\)

Anta at \(X\) er eksponensialfordelt med parameter \(\lambda\) og \(Y=e^{-X}\). Man har altså da at \[f_X(x) = \left\{\begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x}, & ~~~\text{når}~ x\geq 0,\\0 & ~~~\text{ellers,}\end{array}\right.\] og \[Y = u(X) = e^{-X}.\] Finn da sannsynlighetstettheten til \(Y,\) dvs \(f_Y(y).\)

Utregning

Vi regner oss frem til \(f_Y(y)\) ved å følge stegene i regneprosedyren som er formulert.

1. Siden de mulige verdier for \(X\) er intervallet \([0,\infty)\) vil de mulige verdier for \(Y=e^{-X}\) være intervallet \((0,1]\). For å se dette bedre kan man eventuelt skissere funksjonen \(y=e^{-x}\) på intervallet \([0,\infty)\).
2. For å finne \(w(y)\) må vi her løse ligningen \[ y=e^{-x}\] med hensyn på \(x\). Vi får \begin{align}y&=e^{-x}\\ \ln(y)&=-x\\x&=-\ln(y).\end{align} Dermed har vi at \[w(y)=-\ln(y).\]
3. Den deriverte av \(\ln(y)\) er \(\frac{1}{y}\) så \[w^\prime(y)=-\frac{1}{y}.\]
4. Siden de mulige verdier for \(Y\) er i intervallet \((0,1]\), dvs \(Y > 0\), er \(w^\prime(y)=-\frac{1}{y}<0,\) og \[|w^\prime(y)| = \frac{1}{y}.\]
5. Tar utgangspunkt i formelen som gjelder for \(f_X(x)\) i intervallet med de mulige verdiene for \(X\), dvs \[f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}.\] Erstatter vi \(x\) i dette uttrykket med \(w(y)=-\ln(y)\) får vi \begin{align}f_X(w(y)) &= \lambda e^{-\lambda \cdot (-\ln(y))}\\ &= \lambda e^{\lambda \ln(y)}\\ &= \lambda \left(e^{\ln(y)}\right)^\lambda\\ &= \lambda y^\lambda.\end{align}
6. Vi får da \begin{align}f_Y(y) &= f(w(y))\cdot |w^\prime(y)|\\ &= \lambda y^\lambda \cdot \frac{1}{y}\\ &= \lambda y^{\lambda-1},\end{align} hvor denne formelen gjelder for de mulige verdier for \(Y\), dvs intervallet \((0,1]\). Svaret blir dermed \[f_Y(y) = \left\{\begin{array}{ll} \lambda y^{\lambda-1} & \text{for \(y\in (0,1]\),}\\ 0 & \text{ellers.}\end{array}\right.\]