Forventningsverdi til en funksjon

Regneregel

Anta at vi har definert en eller flere stokastiske variabler og at vi ønsker å regne ut forventningsverdien til en funksjon av disse variablene. Det finnes da regneregler vi kan benytte. På temasiden du ser på nå formulerer og diskuterer vi en generell regneregel for denne situasjonen. Hvis funksjonen vi er interessert i er en lineær funksjon av de stokastiske variablene får man enklere regning ved å benytte regneregler som gjelder spesielt for denne situasjonen. Disse regnereglene for forventningsverdi av en lineær funksjon av stokastiske variabler er formulert og diskutert på en egen temaside.

Forventningsverdi til en funksjon

Vi formulerer først et teorem som gir forventningsverdien til en funksjon av kun en stokastisk variabel.

Forventningsverdi til en funksjon av en stokastiske variabel

Her gis kun bevis for tilfellet at \(X\) er en diskret stokastisk variabel. Når \(X\) er en diskret stokastisk variabel vil også \(Z\) være en diskret stokastisk variabel, og fordelingen for \(Z\) blir \[f_Z(z) = P(Z=z) = \sum_{x:g(x)=z}f_X(x),\] der \(z\) er en mulig verdi for \(Z\) og summen er over alle mulige verdier av \(X\) slik at \(g(x)=z\). Forventningsverdien til \(Z\) er dermed per definisjon av forventningsverdi gitt som \[\text{E}[Z] = \sum_z z\ f_Z(z),\] der summen er over alle mulige verdier for \(Z\). Ved å sette uttrykket for \(f_Z(z)\) inn i dette uttrykket for \(\text{E}[Z]\) får man dermed

\[ \begin{align} \text{E}[Z] &= \sum_z \left[ z\ \sum_{x:g(x)=z} f_X(x)\right]\\ &= \sum_z\left[\sum_{x:g(x)=z} z\ f_X(x)\right]\\ &= \sum_z\left[\sum_{x:g(x)=z} g(x)\ f_X(x)\right]. \end{align} \]

Ved å observere at dobbelsummen over \(z\) og \(x:g(x)=z\) summerer over de samme verdiene av \(x\) som en enkeltsum over alle mulige verdier for \(x\) gjør, får man \[\text{E}[Z] = \sum_x g(x)\ f_X(x)\] og resultatet er bevist.

Kommentarer

Det er også mulig å regne ut \(\text{E}[Z]\) direkte fra definisjonen av forventningsverdi, men da må man først finne sannsynlighetsfordelingen for \(Z\) og dette gir i de fleste tilfeller vanskeligere regning enn ved å benytte resultatet i teoremet over.

I praksis benytter man resultatet i teoremet over til å beregne \(\text{E}[Z]\) bare hvis \(g(x)\) er en ikke-lineær funksjon av \(x\). Hvis \(g(x)\) er en lineær funksjon av \(x\) finnes det egne regneregler for dette tilfelle som gir enklere regning.

Forventningsverdi til en funksjon av flere stokastiske variabler

Teoremet over kan generaliseres til en situasjon hvor \(g(\cdot)\) er en funksjon av to eller flere stokastiske variabler. Her gis dette teoremet uten bevis.

Forventningsverdi til en funksjon av flere stokastiske variabler

La \(X_1,\ldots,X_n\) være \(n\) stokastiske variabler med simultanfordeling \(f(x_1\ldots,x_n)\), og la \(Z = g(X_1,\ldots,X_n)\) for en skalar funksjon \(g(x_1,\ldots,x_n)\), dvs \(g(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}\). Hvis \(X_1,\ldots,X_n\) er diskrete stokastiske variabler har man da

\[ \begin{align} \text{E}[Z] &= \text{E}[g(X_1,\ldots,X_n)]\\ &= \sum_{x_1}\cdots \sum_{x_n} g(x_1,\ldots,x_n)f(x_1,\ldots,x_n). \end{align} \]

Hvis \(X_1,\ldots,X_n\) er kontinuerlige stokastiske variabler har man

\[ \begin{align} &\text{E}[Z] = \text{E}[g(X_1,\ldots,X_n)]=\\ &\int_{-\infty}^\infty \cdots \int_{-\infty}^\infty g(x_1,\ldots,x_n)f(x_1,\ldots,x_n) \mbox{d}x_1\cdots\mbox{d}x_n. \end{align} \]

Forventningsverdi til et produkt av uavhengige stokastiske variabler

Et viktig spesialtilfellet av teoremet over er når funksjonen man ser på er et produkt av uavhengige stokastiske variabler. Forventningsverdien til produktet blir da lik produktet til forventningsverdiene. Følgende teorem formulerer dette for et produkt av to stokastiske variabler.

Forventningsverdi til et produkt av uavhengige stokastiske variabler

Vi beviser teoremet for tilfellet at \(X\) og \(Y\) er kontinuerlige stokastiske variabler. For tilfellet med diskrete stokastiske variabler kan teoremet vises tilsvarende, men alle integraler må da byttes ut med summer.

Vi beviser teoremet ved å ta utgangspunkt i det generelle teoremet over. Vi er dermed interessert i funksjonen \(g(x,y)=xy.\) Dessuten vet vi at \(X\) og \(Y\) er uavhengige stokastiske variabler. Dette betyr at simultanfordelingen \(f_{XY}(x,y)\) er gitt som \[f_{XY}(x,y) = f_X(x)f_Y(y),\] der \(f_X(x)\) og \(f_Y(y)\) er marginalfordelingene til henholdsvis \(X\) og \(Y.\) Ifølge teoremet over har vi da at

\[ \begin{align} \text{E}[XY] &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty xy f_{XY}(x,y)\text{d}x\text{d}y\\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty xy f_X(x) f_Y(y)\text{d}x\text{d}y. \end{align} \]

Faktorene \(y\) og \(f_Y(y)\) i integranden varierer ikke med \(x\) og kan dermed settes utenfor det innerste integraltegnet. Vi har dermed at

\[ \text{E}[XY] = \int_{-\infty}^\infty \left[ yf_Y(y) \int_{-\infty}^\infty x f_X(x) \text{d}x\right] \text{d}y. \]

Det innerste integralet, integralet over \(x\), vil åpenbart ikke variere med \(y.\) Vi kan derfor sette faktoren \(\int_{-\infty}^\infty xf_X(x)\text{d}x\) utenfor det ytterste integralet, slik at vi får

\[ \text{E}[XY] = \left( \int_{-\infty}^\infty xf_X(x)\text{d}x\right) \cdot \left( \int_{-\infty}^\infty yf_Y(y)\text{d}y.\right) \]

Nå gjenstår det bare å observere at integralet over \(x\) i uttrykket over er per definisjon av forventningsverdi lik \(\text{E}[X]\) og integralet over \(y\) er tilsvarende lik \(\text{E}[Y].\) Teoremet er dermed bevist.

Relevante lenker

Eksamensoppgaver:
- TMA4245 Statistikk 2016S [nb] [nn] [en] oppgave 1b
  Løsningsforslag: Video [nb]
- TMA4245 Statistikk 2015S [nb] [nn] [en] oppgave 1b
  Løsningsforslag: Video [nb]
- TMA4245 Statistikk 2015S [nb] [nn] [en] oppgave 3b
  Løsningsforslag: Video [nb]
- TMA4245 Statistikk 2014V [nb] [nn] [en] oppgave 1a
  Løsningsforslag: [nn]