Forventningsverdi til en lineær funksjon

Regneregel

Anta at vi har definert en eller flere stokastiske variabler og at vi ønsker å regne ut forventningsverdien til en lineær funksjon av disse variablene. På temasiden du ser på nå formulerer vi tre regneregler som kan benyttes i denne situasjonen. Ved å kombinere disse regnereglene kan man finne et forenklet uttrykk for forventningsverdien til enhver lineær funksjon av stokastiske variabler.

Man skal merke seg at dersom man er interessert i å finne forventningsverdien til en funksjon av stokastiske variabler som ikke er lineær i de stokastiske variablene kan man ikke benytte regnereglene som er formulert på temasiden du ser på nå. Da må man benytte en mer generell regneregel. Slike regneregler er diskutert på en egen temaside.

Forventningsverdi til en lineær funksjon

Vi starter med å formulere et teorem som angir tre av regnereglene vi skal formulere på denne temasiden.

Forventningsverdi til en lineær funksjon av stokastiske variabler

Her beviser vi teoremet når \(X\) og \(Y\) er kontinuerlige stokastiske variabler. For diskrete stokastiske variabler kan teoremet bevises helt tilsvarende, men da må alle integraler i beviset gitt her byttes ut med summer over alle mulige verdier av \(X\) og/eller \(Y\).

Vi viser de tre egenskapene gitt i teoremet en om gangen. Hver gang starter vi med å benytte et mer generelt teorem fra temasiden «Forventningsverdi til en funksjon» og anvende kjente regneregler for integraler.

For å bevise den første egenskapen gitt i teoremet definerer vi den konstant funksjonen \(g(x)=a\) og benytter teoremet «Forventningsverdi til en funksjon av en stokastisk variabel». Vi får da

\[ \begin{align} \text{E}[a] &= \int_{-\infty}^\infty a f(x)\mbox{d}x\\ &= a \int_{-\infty}^\infty f(x)\mbox{d}x\\ &= a, \end{align} \]

der den siste overgangen gjelder fordi en egenskap ved sannsynlighetstettheter er at integralet \(\int_{-\infty}^\infty f(x)\mbox{d}x = 1.\)

For å bevise den andre egenskapen gitt i teoremet definerer vi funksjonen \(g(x)=ax\) og benytter igjen teoremet «Forventningsverdi til en funksjon av en stokastiske variabel». Vi får da

\[ \begin{align} \text{E}[aX] &= \int_{-\infty}^\infty ax f(x)\mbox{d}x\\ &= a \int_{-\infty}^\infty xf(x)\mbox{d}x\\ &= a \text{E}[X], \end{align} \]

der den siste overgangen følger fra definisjonen av forventningsverdi.

For å bevise den siste egenskapen gitt i teoremet definerer vi en funksjon av to variabler, \(g(x,y)=x+y\) og benytter teoremet «Forventningsverdi til en lineær funksjon av flere stokastisk variabler». Vi får da

\[ \begin{align} \text{E}[X+Y] =& \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty (x+y) f(x,y)\mbox{d}x \mbox{d}y\\ =& \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty (xf(x,y) + yf(x,y)) \mbox{d}x \mbox{d}y\\ =& \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty xf(x,y)\mbox{d}x \mbox{d}y\\ &+ \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty yf(x,y)\mbox{d}x \mbox{d}y\\ \end{align} \]

Ved å benytte resultatet i teoremet «Forventningsverdi til en funksjon av flere stokastiske variabler» formulert på temasiden «Forventningsverdi til en funksjon» med \(n=2\) stokastiske variabler og med \(g(x,y) = x\) får vi at \[\text{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x f(x,y)\mbox{d}x\mbox{d}y.\] Ved å benytte samme teorem en gang til med \(n=2\), men nå med \(g(x,y)=y\) har vi tilsvarende \[\text{E}[Y] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty y f(x,y)\mbox{d}x\mbox{d}y.\] Setter vi disse to siste uttrykkene inn i uttrykket vi fant for \(\text{E}[X+Y]\) får vi \[\text{E}[X+Y] = \text{E}[X] + \text{E}[Y],\] som er det vi skulle bevise.

Lineær operator

De to siste egenskapene til \(\text{E}\) angitt i teoremet over kjennetegner det man i matematikken kaller en lineær operator. \(\text{E}\) er dermed en lineær operator.

Kommentar til resultatet i teoremet

Alle tre egenskapene til forventningsoperatoren \(\text{E}\) gitt i teoremet er intuitivt rimelige dersom vi tenker på tolkningen vi har av forventningsverdi som gjennomsnittsverdien til verdiene vi får når vi gjentar et stokastisk forsøk uendelig mange ganger. For eksempel, hvis vi definerer en stokastisk variabel som alltid tar verdien \(a\) vil naturlig nok gjennomsnittsverdien av uendelig mange slike verdier også bli \(a\).

Forventningsverdi til en sum

Den siste egenskapen til forventningsverdioperatoren \(\text{E}\) gitt i teoremet over kan generaliseres til en situasjon hvor man har en sum av flere stokastiske variabler.

Forventningsverdi til en sum av stokastiske variabler

Vi beviser teoremet ved hjelp av et induksjonsbevis. For \(n=1\) er teoremet opplagt riktig og for \(n=2\) er teoremet korrekt ved den tredje egenskapen til forventningsverdioperatoren \(\text{E}\) gitt i det første teoremet på denne temasiden. Anta så at teoremet er riktig for \(n=k\) hvor \(k\geq 2.\) Hvis vi ut fra denne antagelsen kan vise at teoremet også gjelder for \(n=k+1\) er teoremet bevist ved induksjon.

Induksjonsantagelsen er altså at \[\text{E}\!\left[\sum_{i=1}^k X_i\right] = \sum_{i=1}^k \text{E}[X_i]\] og vi må vise at dette medfører at \[\text{E}\!\left[\sum_{i=1}^{k+1} X_i\right] = \sum_{i=1}^{k+1} \text{E}[X_i].\] For å vise dette definerer vi den stokastiske variabelen \[S_k = \sum_{i=1}^k X_i,\] slik at \[\sum_{i=1}^{k+1} X_i = S_k + X_{k+1}.\] Ved å benytte den tredje egenskapen til \(\text{E}\) gitt i det første teoremet på denne temasiden får vi dermed

\[ \begin{align} \text{E}\!\left[\sum_{i=1}^{k+1} X_i\right] &= \text{E}[S_k + X_{k+1}]\\ &= \text{E}[S_k] + \text{E}[X_{k+1}] \end{align} \]

og ved induksjonsantagelsen har vi dermed

\[ \begin{align} \text{E}\!\left[\sum_{i=1}^{k+1} X_i\right] &= \sum_{i=1}^k\text{E}[X_i] + \text{E}[X_{k+1}]\\ &= \sum_{i=1}^{k+1} \text{E}[X_i]. \end{align} \]

Teoremet er dermed bevist.

Kommentarer

Vi ser altså at summetegn alltid kan settes utenfor forventningsverdioperatoren \(\text{E}.\)

Man bør spesielt merke seg at det i teoremet ikke gjøres noen antagelse om at \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er uavhengige. Den samme regneregelen gjelder altså både hvis \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er uavhengige og hvis de er avhengige.

Relevante lenker

Videoer:
- Regneregler for forventningsverdi av lineære funksjoner (0:28:59, Håkon Tjelmeland)
Eksamensoppgaver:
- TMA4245 Statistikk 2019S [nb] [nn] [en] oppgave 5a
  Løsningsforslag: [nn]
- TMA4245 Statistikk 2016H [nb] [nn] [en] oppgave 2
  Løsningsforslag: Video [nb]
- TMA4245 Statistikk 2016S [nb] [nn] [en] oppgave 1a
  Løsningsforslag: Video [nb]
- TMA4245 Statistikk 2016S [nb] [nn] [en] oppgave 3b
  Løsningsforslag: [nb]
- TMA4245 Statistikk 2015S [nb] [nn] [en] oppgave 2b
  Løsningsforslag: [nb]
- TMA4245 Statistikk 2014S [nb] [nn] oppgave 3a
  Løsningsforslag: [nb]
- TMA4245 Statistikk 2014V [nb] [nn] [en] oppgave 1b
  Løsningsforslag: [nn]