Poissonfordeling som tilnærming til binomisk fordeling

Regneregel

Anta at \(X\) er binomisk fordelt med parametre \(n\) og \(p.\) Når antall forsøk \(n\) er stor og sannsynligheten for suksess \(p\) er liten vil fordelingen til \(X\) være tilnærmet lik en poissonfordeling med parameter \(\lambda=np.\) Dette resultatet kan intuitivt forstås ut fra definisjonene av binomisk fordeling og poissonfordelingen og kan matematisk bevises ved hjelp av momentgenererende funksjoner.

Poissonfordeling som tilnærming til binomisk fordeling

Vi starter med å formulere et teorem som angir at en binomisk fordeling konvergerer mot en poissonfordeling når \(n\rightarrow\infty\) og \(p\rightarrow 0\) på en slik måte at \(\lambda=np\) holdes konstant.

Intuisjon

Teoremet sier essensielt at en binomisk fordeling er tilnærmet lik en poissonfordeling når \(n\) er stor og \(p\) er liten. For å se at dette er intuitivt rimelig kan man starte med å dele intervallet \([0,1]\) opp i \(n\) like store biter, se illustrasjon i figur 1 for \(n=20.\) En binomisk fordeling er som kjent definert ut fra en Bernoulli forsøksrekke bestående av \(n\) forsøk. Vi assosierer nå hver av disse \(n\) forsøkene med hver av bitene vi har delt opp intervallet \([0,1]\) i. For de forsøkene som gir suksess definerer vi at det skjer en hendelse midt i den tilhørende biten av intervallet \([0,1].\) I figur 1 er disse hendelsene markert med røde prikker. Når \(n\) er stor og \(p\) er liten vil da prosessen av disse hendelsene tilnærmet oppfylle kravene til en poissonprosess. Fra definisjonen av en poissonfordeling vil dermed antall hendelser i intervallet \([0,1]\) bli tilnærmet poissonfordelt. Parameteren til denne poissonfordelingen blir lik forventet antall hendelser per tidsenhet, som blir lik sannsynligheten for en hendelse i en bit delt på lengden av hver bit, dvs \(\lambda = \frac{p}{1/n} = np.\)

Figur 1: Illustrasjon brukt til å argumentere for at en binomisk fordeling er tilnærmet lik en poissonfordeling når \(n\) er stor og \(p\) er liten.

Poissonfordeling som tilnærming til binomisk fordeling

Å bevise teoremet blir matematisk sett enklest ved å bruke momentgenererende funksjoner. Siden teoremet omhandler binomisk fordeling og poissonfordeling trenger vi momentgenererende funksjoner for disse to fordelingene. En detaljert utledning av momentgenererende funksjon for en binomisk fordeling finnes på temasiden «Momentgenererende funksjon for binomisk fordelt variabel». Denne gir at \[M_X(t) = \left(1-p+pe^t\right)^n.\] Et detaljert utledning av momentgenererende funksjon for en poissonfordeling finnes på temasiden «Momentgenererende funksjon for poissonfordelt variabel». Dersom \(Z\) er poissonfordelt med parameter \(\lambda\) gir dette at \[M_Z(t) = e^{\lambda (e^t-1)}.\] Vi følger så den vanlige regneprosedyren for å bruke momentgenererende funksjoner til å bevise at en funksjon av stokastiske variabler har en angitt fordeling.

La \(Z\) være en stokastisk variabel med samme fordeling som teoremet sier at fordelingen til \(X\) konvergerer mot, dvs la \(Z\) være poissonfordelt med parameter \(\lambda.\)
Momentgenererende funksjon for \(Z\) er dermed \[M_Z(t) = e^{\lambda (e^t-1)}.\]
Vi har allerede etablert at \[M_X(t)=\left(1-p_pe^t\right)^n.\]
Siden teoremet ser på fordelingen til \(X\) selv, og ikke en funksjon av \(X,\) faller dette punktet her bort. Eventuelt kan man definere \(Y=X\) og får direkte at \[M_Y(t) = M_X(t)=\left(1-p+pe^t\right)^n.\]
Vi trenger å bestemme grensen \[\lim_{\begin{array}{c}n\rightarrow,p\rightarrow 0\\np=\lambda\end{array}} M_X(t) = \lim_{\begin{array}{c}n\rightarrow\infty,p\rightarrow 0\\np=\lambda\end{array}}\left(1-p+pe^t\right)^n.\] Ved å sette inn \(p=\frac{\lambda}{n}\) inn i uttrykket for \(M_X(t)\) kan vi finne denne grensen ved å la \(n\rightarrow\infty,\) \begin{align} \lim_{\begin{array}{c}n\rightarrow,p\rightarrow 0\\np=\lambda\end{array}} M_X(t) &= \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{\lambda}{n}(e^t-1)\right)^n\\ &= \lim_{n\rightarrow\infty} \exp\!\left\{ n\ln\!\left( 1+\frac{\lambda}{n}(e^t-1)\right)\right\} \\ &= \exp\!\left\{ \lim_{n\rightarrow\infty}n\ln\!\left(1+\frac{\lambda}{n}(e^t-1)\right)\right\} \\ &= \exp\!\left\{ \lim_{n\rightarrow\infty} \!\left(\frac{\ln\!\left(1+\frac{\lambda}{n}(e^t-1)\right)}{\frac{1}{n}}\right)\right\}.\end{align} Her ser vi at i grensen når \(n\rightarrow\infty\) vil teller i brøken \[\frac{\ln\!\left(1+\frac{\lambda}{n}(e^t-1)\right)}{\frac{1}{n}}\] gå mot minus uendelig, mens nevner vil gå mot pluss uendelig. Vi kan dermed bruke L'Hôpitals regel for å finne hva denne brøken konvergerer mot. Vi starter med å regne ut de derivere av henholdsvis teller og nevner i brøken med hensyn på \(n.\) Kjerneregelen gir at den deriverte av teller blir \begin{align}\frac{\partial}{\partial n} \ln\!\left(1+\frac{\lambda}{n}(e^t-1)\right) &= \frac{-\frac{\lambda}{n^2}(e^t-1)}{1+\frac{\lambda}{n}(e^t-1)}.\end{align} Den deriverte av nevner blir \[\frac{\partial}{\partial n} \left(\frac{1}{n}\right) = -\frac{1}{n^2}.\] L'Hôpitals regel gir dermed \begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\ln\!\left(1+\frac{\lambda}{n}(e^t-1)\right)}{\frac{1}{n}} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\frac{\partial}{\partial n} \ln\!\left(1+\frac{\lambda}{n}(e^t-1)\right)}{\frac{\partial}{\partial n} \left(\frac{1}{n}\right)}\\ &= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{~~\frac{-\frac{\lambda}{n^2}(e^t-1)}{1+\frac{\lambda}{n}(e^t-1)}~~}{-\frac{1}{n^2}} \\ &= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\lambda(e^t-1)}{1+\frac{\lambda}{n}(e^t-1)} \\ &= \lambda (e^t-1).\end{align} Dermed har vi at \[\lim_{\begin{array}{c}n\rightarrow\infty,p\rightarrow 0\\np=\lambda\end{array}}M_X(t) = e^{\lambda (e^t-1)}.\]
Vi ser at \[\lim_{\begin{array}{c}n\rightarrow\infty,p\rightarrow 0\\np=\lambda\end{array}}M_X(t) = M_Z(t).\]
Siden to stokastiske variabler har samme momentgenerende funksjon hvis og bare hvis de har samme sannsynlighetsfordeling må derfor sannsynlighetsfordelingen til \(X\) konvergere mot en poissonfordeling med parameter \(\lambda\) i den angitte grensen. Teoremet er dermed bevist.