Momentgenererende funksjon for poissonfordelt variabel

Anta at \(X\) er geometrisk fordelt med parameter \(\lambda s.\) Merk at vi her lar parameteren i poissonfordelinga være lik \(\lambda s\) og ikke \(\lambda t\) fordi vi vil bruke \(t\) som argument i den momentgenererende funksjonen. Finn da momentgenererende funksjon for \(X.\)

Utregning

Ved å bruke definisjonen av momentgenererende funksjon, regneregel for forventningsverdien til en funksjon av en stokastisk variabel og punktsannsynligheten for en poissonfordelt variabel får vi \begin{align}M_X(t) &= \text{E}\!\left[ e^{tX}\right]\\ &= \sum_{x=0}^\infty e^{tx}f_X(x)\\ &= \sum_{x=0}^\infty e^{tx} \frac{(\lambda s)^x}{x!} e^{-\lambda s}\\ &= \sum_{x=0}^\infty \frac{(\lambda s e^t)^x}{x!}e^{-\lambda s}\\ &= \sum_{x=0}^\infty \frac{e^{-\lambda s}}{e^{-\lambda se^t}} \frac{(\lambda se^t)^x}{x!} e^{-\lambda s e^t} \\ &= \frac{e^{-\lambda s}}{e^{-\lambda se^t}} \sum_{x=0}^\infty \frac{(\lambda se^t)^x}{x!} e^{-\lambda s e^t} \\ &= \frac{e^{-\lambda s}}{e^{-\lambda se^t}} \\ &= e^{\lambda s(e^t-1)},\end{align} der vi i den nest siste overgangen brukte at uttrykket vi summerer over er identisk med punktsannsynligheten i en poissonfordeling med parameter \(\lambda s e^t,\) slik at summen er lik en. Momentgenererende funksjon for \(X\) er dermed \[\underline{\underline{M_X(t) = e^{\lambda s(e^t-1)}}}.\]