Regnesprosedyre: Bruke momentgenererende funksjon til å bevise at en funksjon av stokastiske variabler har en angitt fordeling

Regneregel

Anta at vi er gitt et teorem hvor situasjonen er som følger. I teoremet har man gitt en stokastisk variabel \(X\) eller flere stokastiske variabler \(X_1,X_2,\ldots,X_n\), og det er angitt hvilken sannsynlighetsfordeling den eller disse stokastiske variabler har. Dersom det er flere stokastiske variabler er disse typisk antatt å være uavhengige. Videre er en annen stokastisk variabel, som vi her kaller \(Y\), definert som en funksjon av \(X\) eller \(X_1,X_2,\ldots,X_n\). Resultatet i teoremet er enten at \(Y\) har en spesifisert sannsynlighetsfordeling, eller at sannsynlighetsfordelingen til \(Y\) konvergerer mot en spesifisert fordeling når noe går mot en angitt grense. Anta at vi så ønsker å bevise dette teoremet ved å bruke momentgenererende funksjoner. På temasiden du er på nå angir vi en trinn-for-trinn prosedyre for hvordan et slik teorem kan bygges opp.

Bevisstrategi

Man starter med å definere seg en stokastisk variabel \(Z\) som har den sannsynlighetsfordelingen man ønsker å bevise at \(Y\) har, eventuelt at \(Z\) har den sannsynlighetsfordelingen man ønsker å bevise at sannsynlighetsfordelingen til \(Y\) konvergerer mot. Man vil så finne de momentgenererende funksjonene til \(Y\) og \(Z\) og se at disse er identiske, eventuelt at den momentgenererende funksjonen til \(Y\) konvergerer mot den momentgenererende funksjonen til \(Z\). Siden to stokastiske variabler har samme momentgenererende funksjon hvis og bare hvis de har samme sannsynlighetsfordeling er teoremet dermed bevist.

Bevisprosedyre

En trinn for trinn fremgangsmåte for å bevise et slikt teorem er som følger.

  1. Definer en ny stokastisk variabel \(Z\) og definer at denne har den sannsynlighetsfordelingen man ønsker å bevise at \(Y\) har, eventuelt den sannsynlighetsfordelingen man ønsker å bevise at sannsynlighetsfordelingen til \(Y\) konvergerer mot.
  2. Finn den momentgenererende funksjonen til \(Z\), \(M_Z(t)\). Vanligvis vil man kunne finne denne i ei formelsamling, men hvis ikke må man regne den ut fra definisjonen av momentgenerende funksjoner.
  3. Avhengig av situasjonen angitt i teoremet, finn den momentgenererende funksjonen til \(X\), dvs \(M_{X_1}(t)\), eller de momentgenererende funksjonene til hver av \(X_1,X_2,\ldots,X_n\), dvs \(M_{X_1}(t),M_{X_2}(t),\ldots,M_{X_n}(t)\). Igjen vil man vanligvis kunne finne denne (eller disse) i ei formelsamling, men hvis ikke må man igjen ta utgangspunkt i definisjonen av momentgenererende funksjoner.
  4. Benytt regnereglene for momentgenererende funksjoner til å finne den momentgenererende funksjonen til \(Y\), dvs \(M_Y(t)\).
  5. Hvis teoremet sier at \(Y\) har en angitt fordeling, observer at \(M_Y(t)=M_Z(t)\). Hvis teoremet sier at sannsynlighetsfordelingen til \(Y\) konvergerer mot en angitt sannsynlighetsfordeling, observer at \(M_Y(t)\) konvergerer mot \(M_Z(t)\) når noe går mot en grense som angitt i teoremet.
  6. Benytt argumentet om at to stokastiske variabler har samme momentgenerende funksjon hvis og bare hvis de har samme sannsynlighetsfordeling, til å konkludere med at \(Y\) og \(Z\) må ha samme sannsynligehtsfordeling, eventuelt at sannsynlighetsfordelingen til \(Y\) må konvergere mot sannsynlighetsfordelingen til \(Z\). Avslutt med å påpeke at teoremet dermed er bevist.

Eksempler

Beviser der denne bevisprosedyren er brukt finnes på følgende temasider: