Sum av uavhengige kjikvadratfordelte variabler

Regneregel

En sum av uavhengige kjikvadratfordelte variabler er kjikvadratfordelt, og antall frihetsgrader summerer seg. På temasiden du ser på nå formulerer vi dette resultatet som et teorem og bruker momentgenererende funksjoner til å bevise resultatet.

Sum av uavhengige kjikvadratfordelte variabler

Vi formulerer først resultatet som et teorem og beviser etterpå teoremet ved hjelp av momentgenererende funksjoner.

Sum av uavhengige kjikvadratfordelte variabler

Vi beviser her teoremet ved hjelp av momentgenererende funksjoner. Siden teoremet omhandler kjikvadratfordelinger trenger vi momentgenererende funksjon for en kjikvadratfordeling. Vi vet at en gammafordeling med parametre \(\alpha=\frac{\nu}{2}\) og \(\beta=2\) er identisk med en kjikvadratfordeling med \(\nu\) frihetsgrader. Dermed kan vi finne momentgenererende funksjon for en kjikvadratfordeling ved å sette inn \(\alpha=\frac{\nu}{2}\) og \(\beta=2\) i formelen for en momentgenererende funksjon for en gammafordeling. En detaljert utledning av momentgenererende funksjon for en gammafordeling finnes på temasiden «Momentgenererende funksjon for gammafordelt variabel». Hvis \(U\) er kjikvadratfordelt med \(\nu\) frihetsgrader får vi dermed \begin{align} M_U(t)&=\frac{1}{(1-\beta t)^\alpha}\\ &=\frac{1}{(1-2t)^{\frac{\nu}{2}}}\end{align} for \(t<\frac{1}{\beta}=\frac{1}{2}.\) Vi følger så den vanlige regneprosedyren for å bruke momentgenererende funksjoner til å bevise at en funksjon av stokastiske variabler har en angitt fordeling.

La \(V\) være en stokastisk variabel med samme sannsynlighetsfordeling som teoremet angir at \(Y\) har, dvs la \(Y\) være kjikvadratfordelt med \(\nu=\sum_{i=1}^n\nu_i\) frihetsgrader.
Momentgenererende funksjon som \(V\) blir dermed \begin{align}M_V(t)&=\frac{1}{(1-2t)^{\frac{\nu}{2}}}\\ &= \frac{1}{(1-2t)^{\frac{\sum_{i=1}^n \nu_i}{2}}}\\ &= \frac{1}{(1-2t)^{\sum_{i=1}^n \frac{\nu_i}{2}}}\end{align} for \(t<\frac{1}{2}.\)
For \(i=1,2,\ldots,n\) har vi at \[M_{X_i}(t) = \frac{1}{(1-2t)^{\frac{\nu_i}{2}}}\] for \(t<\frac{1}{2}.\)
Vi bruker så regneregler for momentgenererende funksjoner til å finne momentgenererende funksjon for \(Y.\) Siden \(X_i\)-ene er uavhengige kan vi bruke regneregelen som sier at momentgenererende funksjon for en sum av uavhengige variabler er lik produktet av de momentgenererende funksjonene, \begin{align}M_Y(t)&=M_{\sum_{i=1}^n X_i}(t)\\ &= \prod_{i=1}^n M_{X_i}(t)\\ &= \prod_{i=1}^n \frac{1}{(1-2t)^{\frac{\nu_i}{2}}}\\ &= \frac{1}{(1-2t)^{\sum_{i=1}^n \frac{\nu_i}{2}}}\end{align} for \(t < \frac{1}{2}.\)
Vi ser at \(M_Y(t)=M_V(t).\)
Siden to stokastiske variabler har samme momentgenerende funksjon hvis og bare hvis de har samme sannsynlighetsfordeling må derfor \(Y\) ha samma sannsynlighetsfordeling som \(V,\) dvs \(Y\) er kjikvadratfordelt med \(\nu=\sum_{i=1}^n \nu_i\) frihetsgrader. Teoremet er dermed bevist.