Sum av uavhengige binomisk fordelte variabler

Regneregel

En sum av uavhengige binomisk fordelte variabler med samme suksessannsynlighet \(p\) blir binomisk fordelt med den samme suksessannsynligheten \(p.\) Dette resultatet følger direkte fra definisjonen av binomisk fordeling som antall suksesser i en Bernoulli forsøksrekke. På temasiden du ser på nå formulerer vi dette resultatet mer presist og gir et tilhørende bevis ut fra egenskapene til en Bernoulli forsøksrekke.

Sum av uavhengige binomisk fordelte variabler

Vi formulerer først resultatet som et teorem og gir deretter et bevis.

Sum av uavhengige binomisk fordelte variabler

Ut fra definisjonen av en binomisk fordeling er \(X_i\) antall suksesser i en Bernoulli forsøksrekke bestående av \(n_i\) forsøk. Vi har dermed at \(X_i\) er antall suksesser blant \(n_i\) uavhengige forsøk der hvert forsøk gir suksess med sannsynlighet \(p.\) Siden \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er antatt å være uavhengige stokastiske variabler får vi dermed at \(Y=\sum_{i=1}^mX_i\) er antall suksesser blant \(\sum_{i=1}^mn_i\) uavhengige forsøk der hvert forsøk gir suksess med samme sannsynlighet \(p.\) \(Y\) er dermed antall suksesser i en Bernoulli forsøksrekke bestående av \(\sum_{i=1}^mn_i\) forsøk der hvert forsøk gir suksess med sannsynlighet \(p.\) Ut fra definisjonen av en binomisk fordeling er dermed \(Y\) binomisk fordelt med parametre \(\sum_{i=1}^m n_i\) og \(p.\) Teoremet er dermed bevist.

Kommentar

Man bør merke seg at teoremet over kun gjelder når alle \(X_i\)-ene har samme suksessannsynlighet \(p.\) Det finnes ikke noe tilsvarende resultat som sier hvilken fordeling man får dersom man har en sum av uavhengige binomisk fordelte variabler med forskjellige sukessannsynligheter.