Regne ut sannsynligheter i en binomisk fordeling

Anta at \(X\) er binomisk fordelt med \(n=16\) forsøk og sannsynlighet \(p=0.4\) for suksess. Finn da sannsynlighetene \[P(X \leq 3),~~~P(X\geq 7)~~~\text{og}~~~P(X < 10|X\geq 7).\]

Illustrasjon

Sannsynligheten \(P(X \leq 3)\) er illustrert i figur 1. Her er sannsynlighetsfordelingen til \(X\) tegnet som et stolpediagram. Stolpene som hører til hendelsen \(X\leq 3\) er tegnet i rødt, mens de øvrige stolpene er tegnet i grønt. Sannsynligheten \(P(X\leq 3)\) er lik summen av høydene til stolpene som er tegnet i rødt. Tilsvarende er sannsynligheten \(P(X\geq 7)\) illustrert i figur 2. Igjen er sannsynlighetsfordelingen vist som et stolpediagram. Stolpene som hører til den aktuelle hendelsen, dvs \(X\geq 7,\) er tegnet i rødt slik at sannsynligheten er lik summen av høydene til stolpene som er tegnet med rødt.

Utregning

Utregning av \(P(X\leq 3)\): For å bestemme \(P(X\leq 3)\) er det definitivt enklest å finne denne sannsynligheten i en tabell over kumulativ fordelingsfunksjon for en binomisk fordeling. Ved å lese av verdien for \(P(X\leq 3)\) i en slik tabell for \(n=16\) og \(p=0.4\) finner vi at \[\underline{\underline{P(X\leq 3) = 0.065}}.\] Det er også mulig å regne ut sannsynligheten ved å ta utgangspunkt i formelen for punktsannsynlighet i binomisk fordeling. Vi ser at \(X\leq 3\) skjer hvis og bare hvis \(X=0,\) \(X=1,\) \(X=2\) eller \(X=3.\) Og siden de fire hendelsene \(X=0,\) \(X=1,\) \(X=2\) og \(X=3\) er disjunkte kan vi bruke at sannsynligheten for en union av disjunkte hendelser er lik summen av sannsynlighetene for hver hendelse, slik at vi får \begin{align}P(X\leq 3) &=P(X=0\cup X=1\cup X=2\cup X=3)\\ &= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3).\end{align} Ved å bruke formelen for punktsannsynlighet \(f(x)=P(X=x)=\binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}\) med \(n=16\) og \(p=0.4\) får vi dermed \begin{align} P(X\leq 3) &= P(X=0\cup X=1\cup X=2\cup X=3)\\ &= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\\ &= \binom{16}{0}\cdot 0.4^0\cdot 0.6^{16} + \binom{16}{1}\cdot 0.4^1\cdot 0.6^{15}\\[0.1cm] &+ \binom{16}{2}\cdot 0.4^2\cdot 0.6^{14}+\binom{16}{3}\cdot 0.4^3\cdot 0.6^{13}\\ &= 1\cdot 0.4^0\cdot 0.6^{16} + 16\cdot 0.4^1\cdot 0.6^{15}\\[0.1cm] &+ \frac{16\cdot 15}{2\cdot 1}\cdot 0.4^2\cdot 0.6^{14} + \frac{16\cdot 15\cdot 14}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot 0.4^3\cdot 0.6^{13}\\ &= 0.000282111 + 0.003009184\\ &+ 0.01504592 + 0.04680953\\ &= 0.06514675.\end{align}

Utregning av \(P(X\geq 7)\): For å finne sannsynligheten \(P(X\geq 7)\) er det også enklest å benytte en tabell over kumulativ fordelingsfunksjon, men siden slike tabeller bare gir sannsynligheter på formen \(P(X\leq x)\) må vi først bruke komplementærsetningen til å uttrykke sannsynligheten vi er interessert i ved hjelp en sannsynlighet på den formen. Siden de mulige verdiene til \(X\) er heltallene \(0,1,2,\ldots,16\) får vi at det motsatte av at \(X\geq 7\) blir \(X\leq 6.\) Dermed fhar vi at \begin{align}P(X\geq 7) &= 1 - P(X<7)\\ &= 1 - P(X\leq 6).\end{align} Sannsynligheten \(P(X\leq 6\) kan vi så lese av i en tabell for \(n=16\) og \(p=0.4.\) Vi får \(P(X\leq 6\) = 0.527,\) slik at sannsynligheten vi er interessert i blir \(P(X\geq 7) = 1- P(X\leq 6) = 1 - 0.527 = 0.473.\) Svaret er altså \[\underline{\underline{P(X\geq 7)=0.473}}.\]

Igjen kunne vi alternativt ha regnet ut sannsynligheten \(P(X\geq 7)\) ved å ta utgangspunkt i formelen for punktsannsynligheten i en binomisk fordeling. Ved å benytte \(n=16\) og \(p=0.4\) i denne formelen får vi at \[P(X\geq 7) = \sum_{x=7}^{16} \binom{16}{x} 0.4^x 0.6^{16-x}.\] Siden vi her får en sum av hele ti ledd gir dette svært mye regnearbeid hvis summen skal evalueres ved bruk av en kalkulator. Det er dermed sterkt å foretrekke å benytte en tabell som over, eller å benytte et dataprogram der evaluering av den kumulative fordelingsfunksjonen er implementert.

Utregning av \(P(X<10|X\geq 7)\): Definisjonen av betinget sannsynlighet gir \begin{align}P(X<10|X\geq 7) &= \frac{P(X<10 \cap X\geq 7)}{P(X\geq 7)}\\ &= \frac{P(7\leq X < 10)}{P(X\geq 7)}\\ &= \frac{P(7\leq X\leq 9)}{P(X\geq 7)}.\end{align} Sannsynligheten i nevneren har vi allerede regnet ut slik at det som gjenstår er å regne ut sannsynligheten i telleren. Sannsynligheten i telleren, \(P(7\leq X\leq 9),\) er illustrert i figur 3.

For å finne \(P(7\leq X\leq 9)\) kan man igjen enten bruke tabell over kumulativ fordelingsfunksjon eller man kan bruke formel for punktsannsynlighet i binomisk fordeling. Vi viser her først hvordan man kan komme frem ved å bruke tabell. Da må man først uttrykke sannsynligheten man ønsker ved hjelp av sannsynligheter på formen \(P(X\leq x).\) Siden de mulige verdier for \(X\) er heltallene \(0,1,2,\ldots,16\) får vi at \[\{X\leq 9\} = \{X\leq 6\} \cup \{7\leq X\leq 9\},\] og siden hendelsene \(\{X\leq 6\}\) og \(\{7\leq X\leq 9\}\) er disjunkte gir regneregelen for sannsynlighet til en union av hendelser at vi har \[P(X\leq 9) = P(X\leq 6) + P(7\leq X\leq 9).\] Dermed får vi at \[P(7\leq X\leq 9) = P(X\leq 9) - P(X\leq 6).\] Vi kan så finne de to sannsynlighetene på høyre side av denne siste ligningen i tabell. Ved å slå opp i tabell for \(n=16\) og \(p=0.4\) får vi \(P(X\leq 9) = 0.942\) og \(P(X\leq 6) = 0.527,\) slik at \(P(7\leq X\leq 9) = 0.942 - 0.527 = 0.415.\)

Vi viser så hvordan vi også relativt enkelt kan finne \(P(7\leq X\leq 9)\) ved å benytte formel for punktsannsynligheten i en binomisk fordeling. Siden de mulige verdiene til \(X\) er heltallene \(0,1,2,\ldots,16\) får vi at hendelsen \(7\leq X\leq 9\) kan uttrykkes som unionen av hendelsene \(X=7,\) \(X=8\) og \(X=9.\) Dermed har vi \begin{align}P(7\leq X\leq 9) &= P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)\\ &= f(7) + f(8) + f(9)\\ &= \binom{16}{7}\cdot 0.4^7 \cdot 0.6^{9} + \binom{16}{8}\cdot 0.4^8\cdot 0.6^8\\[0.1cm] &+ \binom{16}{9} 0.4^9\cdot 0.6^7\\ &= 0.1888892 + 0.1416669 + 0.08395077 \\ &= 0.4145069.\end{align}

Hvis vi nå bruker denne siste verdien for \(P(7\leq X\leq 9)\) i uttrykket vi har for \(P(X<10|X\geq 7)\) får vi \begin{align}P(X<10|X\geq 7) &= \frac{P(7\leq X\leq 9)}{P(X\geq 7)}\\ &= \frac{0.4145069}{0.473}\\ &= 0.876.\end{align} Svaret er altså \[\underline{\underline{P(X<10|X\geq 7)=0.876}}.\]