Funksjoner av stokastiske variabler

Anta at vi har en stokastisk variabel \(X\) og at vi kjenner sannsynlighetsfordelingen \(f(x)\) til denne. Anta så at vi definerer en ny stokastisk variabel \(Y=u(X)\), der \(u(\cdot)\) er en gitt matematisk funksjon, for eksempel \(Y=u(X)=\ln (X)\). Hvilken sannsynlighetsfordeling vil da \(Y\) ha? Mer generelt kan vi ha flere stokastiske variabler \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) med en kjent simultan sannsynlighetsfordeling \(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) og så definere en ny stokastisk variabel \(Y=u(X_1,X_2,\ldots,X_n)\) der \(u\) er en gitt funksjon av \(n\) variabler. Igjen kan vi stille samme spørsmål, hvilken sannsynlighetsfordeling har \(Y\)? Det finnes ingen generell fremgangsmåte som kan benytes til å finne svaret på dette spørsmålet i alle situasjoner. Hvordan man kan regne seg frem til svaret avhenger av om \(u\) er en funksjon av en eller flere stokastiske variabler og av hvilke egenskaper funksjonen \(u\) har. Vi skal se på tre fremgangsmåter for å bestemme sannsynlighetsfordelingen til \(Y\) i en slik situasjon, 1) transformasjon av en (diskret eller kontinuerlig) stokastisk variabel, 2) bruk av momentgenererende funksjoner, og 3) fordeling for ekstrem- og ordningsvariabler.