Utregning av forventningsverdi og varians i geometrisk fordeling ved hjelp av momentgenererende funksjoner

Anta at \(X\) er geometrisk fordelt med parameter \(p.\) Bruk momentgenererende funksjoner til å bestemme forventningsverdi og varians for \(X.\)

Utregning

For å løse denne oppgaven trenger vi å vite momentgenererende funksjon for en geometrisk fordelt variabel eller man må finne denne ved å benytte definisjonen av momentgenererende funksjon. På temasiden «Momentgenererende funksjon for geometrisk fordelt variabel» finnes en detaljert utregning av momentgenererende funksjon for en geometrisk fordeling. Resultatet der gir at \[M_X(t) = \frac{pe^t}{1-(1-p)e^t}.\] Som diskutert på temasiden «Finne momenter fra momentgenererende funksjon» finner vi \(r\)-te ordens moment til \(X\) ved å derivere \(M_X(t)\) \(r\) ganger ved hensyn på \(t\) og deretter sette \(t\) lik null. Vi starter med å derivere en gang med hensyn på \(t,\) \begin{align}M_X^\prime (t) &= \frac{pe^t (1-(1-p)e^t)-pe^t(-(1-p)e^t)}{(1-(1-p)e^t)^2}\\ &= \frac{pe^t(1-(1-p)e^t+(1-p)e^t)}{(1-(1-p)e^t)^2} \\ &= \frac{pe^t}{(1-(1-p)e^t)^2}.\end{align} Første ordens moment blir dermed \begin{align}\mu_1 &= \text{E}[X]\\ &= M_X^\prime(0)\\ &= \frac{pe^0}{(1-(1-p)e^0}\\ &= \frac{p}{p^2}\\ &= \frac{1}{p}.\end{align} Vi har altså at \(\text{E}[X]=\frac{1}{p}.\) For å finne andre ordens moment for \(X\) trenger vi også den andrederiverte av \(M_X(t).\) Ved å ta utgangspunkt i uttrykket vi har for \(M_X^\prime(t)\) får vi \begin{align}M_X^{\prime\prime}(t) &= \frac{pe^t (1-(1-p)e^t)^2 - pe^t\cdot 2(1-(1-p)e^t)\cdot (-(1-p)e^t)}{(1-(1-p)e^t)^4}.\end{align} Andre ordens moment for \(X\) blir da \begin{align}\mu_2 &= \text{E}[X^2]\\ &= M_X^{\prime\prime}(0) \\ &= \frac{pe^0(1-(1-p)e^0)^2-pe^0\cdot 2(1-(1-p)e^0)\cdot (-(1-p)e^0)}{(1-(1-p)e^0)^4} \\ &= \frac{p p^2 - 2p p (-(1-p))}{p^4} \\ &= \frac{p+2(1-p)}{p^2}\\ &= \frac{2-p}{p^2}.\end{align} Ved å bruke at varians kan uttrykkes ved forventningsverdier får vi dermed \begin{align}\text{Var}[X] &= \text{E}[X^2]-\text{E}[X]^2\\ &= \frac{2-p}{p^2} - \left(\frac{1}{p}\right)^2\\ &= \frac{2-p-1}{p^2}\\ &= \frac{1-p}{p^2}.\end{align} Vi har dermed funnet at \[\underline{\underline{\text{E}[X] =\frac{1}{p}~~~\text{og}~~~\text{Var}[X]=\frac{1-p}{p^2}}}.\]