Momentgenererende funksjon for geometrisk fordelt variabel

Anta at \(X\) er geometrisk fordelt med parameter \(p.\) Finn da momentgenererende funksjon for \(X.\)

Utregning

Ved å bruke definisjonen av momentgenererende funksjon, regneregel for forventningsverdien til en funksjon av en stokastisk variabel og punktsannsynligheten for en geometrisk fordelt variabel får vi \begin{align}M_X(t) &= \text{E}\!\left[ e^{tX}\right]\\ &= \sum_{x=1}^\infty e^{tx} f_X(x)\\ &= \sum_{x=1}^\infty e^{tx} p (1-p)^{x-1}\\ &= \sum_{x=1}^\infty pe^t \left((1-p)e^t\right)^{x-1}\\ &= pe^t \sum_{x=1}^\infty \left((1-p)e^t\right)^{x-1} \\ &= pe^t \sum_{x=0}^\infty \left((1-p)e^t\right)^x.\end{align} Dersom \((1-p)e^t \geq 1\) blir summen lik uendelig, mens hvis \((1-p)e^t < 1 \Leftrightarrow t < -\ln (1-p)\) kan vi bruke formelen for en geometrisk rekke og får \begin{align}M_X(t) &= pe^t \cdot \frac{1}{1-(1-p)e^t}\\ &= \frac{pe^t}{1-(1-p)e^t}.\end{align} Momentgenererende funksjon for \(X\) er dermed \[\underline{\underline{M_X(t) = \frac{pe^t}{1-(1-p)e^t},t<-\ln (1-p)}}.\]