Regne ut sannsynligheter i en normalfordeling

Anta at $X\sim \text{N}(2,3^2).$ Bruk tabell over sannsynligheter i en standard normalfordeling til å bestemme sannsynlighetene $$P(X\leq 4),~~ P(X\geq 1) ~~~\text{og}~~~P(X\leq 4|X\geq 1).$$

Illustrasjon

Sannsynligheten $P(X\leq 4)$ er illustrert i figur 1. Her er sannsynlighetstettheten til $\text{N}(2,3^2)$-fordelingen tegnet i blått og sannsynligheten $P(X\leq 4)$ er arealet av området farget i rødt. Sannsynligheten $P(X\geq 1)$ er tilsvarende illustrert i figur 2. Igjen er sannsynlighetstettheten til $\text{N}(2,3^2)$-fordelingen tegnet i blått og sannsynligheten $P(X\leq 1)$ er arealet av området farget i rødt.

Utregning

Utregning av $P(X\leq 4)$: Siden $X\sim\text{N}(2,3^2)$ har vi at forventningsverdien til $X$ er $\mu=2$ og standardavviket er $\sigma=3.$ Ved å standardisere $X$ får vi dermed at $$Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \sim \text{N}(0,1).$$ Dermed har vi at $$\begin{align}P(X\leq 4) &= P\left(\frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{4-\mu}{\sigma}\right) \\ &= P\left(Z\leq \frac{4-2}{3}\right)\\ &= P\left(Z\leq \frac{2}{3}\right) \\ &= \Phi\left(\frac{2}{3}\right),\end{align}$$ der $\Phi(\cdot)$ er kumulativ fordelingsfunksjon for en standard normalfordelt variabel. Verdien til $\Phi\left(\frac{2}{3}\right) \approx \Phi(0.67) = 0.7486$ finner vi i tabell over sannsynligheter i en standard normalfordeling. Vi har dermed at $$\underline{\underline{P(X\leq 4) = 0.7486}}.$$ Man kan merke seg at denne sannsynligheten også kan visualiseres som et areal under sannsynlighetstettheten for en standard normalfordelt variabel, som illustrert i figur 3 må man da ta med arealet under sannsynlighetstettheten opp til $z=\frac{2}{3}.$ Arealet av de røde området i figur 1 er altså lik arealet av det røde området i figur 3.

Utregning av $P(X\geq 1)$: For å regne ut denne sannsynligheten er det naturlig å starte med å bruke komplementærsetningen. Denne sier at sannsynligheten for hendelsen $X\geq 1$ er lik $1$ minus sannsynligheten for den motsatte hendelse, og det motsatte av at $X\geq 1$ er $X<1.$ Dermed har vi at $$P(X\geq 1) = 1 - P(X < 1).$$ Siden $X$ er en kontinuerlig fordelt stokastisk variabel har vi at $P(X < 1) = P(X\leq 1),$ se diskusjon på temasiden om sannsynlighetstetthet. Dermed har vi at $$P(X\geq 1) = 1 - P(X\leq 1).$$ Videre kan vi introdusere den standardiserte variabelen $Z$ som over. Vi får $$\begin{align}P(X\geq 1) &= 1 - P(X\leq 1) \\ &= 1 - P\left( \frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{1-2}{3}\right) \\ &= 1-P\left(Z\leq -\frac{1}{3}\right) \\ &= 1 - \Phi\left(-\frac{1}{3}\right).\end{align}$$ I tabell over sannsynligheter i en standard normalfordeling finner vi så $\Phi\left(-\frac{1}{3}\right)\approx \Phi(-0.33) = 0.3703$ slik at \(P(X\geq 1) = 1 - 0.3703 = 0.6297. Vi har dermed at $$\underline{\underline{P(X\geq 1) = 0.6297}}.$$

Utregning av $P(X\leq 4|X\geq 1)$: Dette er en betinget sannsynlighet slik at vi starter med å bruke definisjonen av betinget sannsynlighet, $$\begin{align}P(X\leq 4|X\geq 1) &= \frac{P(X\leq 4 \cap X\geq 1)}{P(X\geq 1)}\\ &= \frac{P(1 \leq X \leq 4)}{P(X\geq 1)}.\end{align}$$ Sannsynligheten i nevneren har vi allerede regnet ut slik at det som gjenstår er å regne ut sannsynligheten i telleren.

Hendelsen $X\leq 4$ kan vi åpenbart skrive som $(X\leq 4) = (1\leq X\leq 4) \cup (X < 1),$ hvor vi ser at hendelsene $1\leq X\leq 4$ og $X < 1$ er disjunkte. Regneregelen for sannsynligheten for en union og disjunkte hendelser gir da $P(X\leq 4) = P(1\leq X\leq 4) + P(X < 1)$ slik at $$P(1\leq X\leq 4) = P(X\leq 4) - P(X < 1),$$ se illustrasjon i figur 4.

Vi har allerede funnet at $P(X\leq 4) = 0.7486$ og komplementærsetningen gir $P(X < 1) = 1 - P(X\geq 1).$ Ved å bruke at vi allerede har funnet at $P(X\geq 1) = 0.6297$ får vi $P(X<1) = 1- 0.6297 = 0.3703.$ Dermed har vi $$\begin{align}P(X\leq 4|X\geq 1) &= \frac{P(X\leq 4 \cap X\geq 1)}{P(X\geq 1)}\\ &= \frac{P(1 \leq X \leq 4)}{P(X\geq 1)}\\ &= \frac{P(X\leq 4) - P(X < 1)}{P(X\geq 1)} \\ &= \frac{0.7486 - 0.3703}{0.6297}\\ &= 0.6008.\end{align}$$ Svaret er dermed $$\underline{\underline{P(X\leq 4|X\geq 1) = 0.6008}}.$$