Lineærkombinasjon av uavhengige normalfordelte variabler

Regneregel

Normalfordelingen har den fine egenskapen at enhver lineær funksjon av uavhengige og normalfordelte variabler også er normalfordelt. Denne egenskapen er essensiell når man skal gjøre inferens (lage konfidensintervall eller kontruere hypotesetester) for normal-populasjoner. På temasiden du ser på nå formulerer vi denne egenskapen til normalfordelingen i et teorem. I beviset for teoremet bruker vi momentgenererende funksjoner. Man skal merke seg at dette beviset følger den typiske regneprosedyren som brukes når man skal bruke momentgenererende funksjoner til å bevise at en funksjon av stokastiske variabler har en angitt sannsynlighetsfordeling.

Lineærkombinasjon av uavhengige normalfordelte variabler

Vi starter med å formulere teoremet.

Lineærkombinasjon av uavhengige normalfordelte variabler

For å bevise dette teoremet bruker vi momentgenererende funksjoner. Siden teoremet omhandler normalfordelte variabler trenger vi først å finne den momentgenererende funksjon for denne fordelingen. La derfor \(U\sim \text{N}(\mu,\sigma^2).\) Den momentgenererende funksjon for \(U\) er da \[M_U(t)=\exp\left\{ \mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2\right\},\] se detaljert utledning på temasiden «Momentgenererende funksjon for normalfordelt variabel». Vi følger så den vanlige regneprosedyren for å bruke momentgenererende funksjoner til å bevise at en funksjon av stokastiske variabler har en angitt fordeling.

La \(Z\) være en stokastisk variabel med samme sannsynlighetsfordeling som teoremet angir at \(Y\) har, dvs la \[Z\sim\text{N}\left(\sum_{i=1}^na_i\mu_i+b,\sum_{i=1}^n a_i^2\sigma_i^2\right).\]
Den momentgenererende funksjonen til \(Z\) er dermed \[M_Z(t) = \exp\left\{ \left(\sum_{i=1}^n a_i\mu_i+b\right)t + \frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\sigma_i^2\right)t^2\right\}.\]
Siden \(X_i\sim\text{N}(\mu_i,\sigma_i^2)\) har vi at momentgenerende funksjon for \(X_i\) er \[M_{X_i}(t)=\exp\left\{\mu_i t+\frac{1}{2}\sigma_i^2 t^2\right\},\] for \(i=1,2,\ldots,n.\)
Vi bruker så regneregler for momentgenererende funksjoner til å finne momentgenererende funksjon for \(Y.\) Vi bruker først regneregelen som angir hva som skjer med en additiv konstant, \[M_Y(t) = M_{\sum_{i=1}^na_iY_i+b}(t) = e^{bt}M_{\sum_{i=1}^na_iX_i}(t).\] Siden \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er uavhengige kan vi bruke regneregelen som sier at momentgenererende funksjon til en sum av uavhengige stokastiske variabler er lik produktet av de momengenerende funksjoner, \begin{align}M_Y(t) &=e^{bt} M_{a_1X_1}(t)\cdot M_{a_2X_2}(t)\cdot\ldots\cdot M_{a_nX_n}(t)\\ &= e^{bt}\prod_{i=1}^n M_{a_iX_i}(t).\end{align} Regneregelen som sier hva som skjer med en multiplikativ konstant gir til slutt at \(M_{a_iX_i}(t)=M_{X_i}(a_it)\) slik at vi får \[M_Y(t) = e^{bt}\prod_{i=1}^n M_{X_i}(a_it).\] Ved å benytte uttrykket vi har for \(M_{X_i}(t)\) og regneregler for eksponensialfunksjonen får vi dermed \begin{align}M_Y(t) &= e^{bt}\prod_{i=1}^n \exp\left\{ \mu_i(a_it) + \frac{1}{2}\sigma_i^2 (a_it)^2\right\}\\ &= \exp\left\{ bt + \sum_{i=1}^n \left( a_i\mu_it + \frac{1}{2} a_i^2\sigma_i^2 t^2\right)\right\}\\ &= \exp\left\{ \left(\sum_{i=1}^n a_i\mu_i + b\right) t + \frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\sigma^2\right)t^2\right\}.\end{align}
Vi ser at \[M_Y(t)=M_Z(t)\]
Siden to stokastiske variabler har samme momentgenerende funksjon hvis og bare hvis de har samme sannsynlighetsfordeling, må dermed \(Y\) ha samme sannsynlighetsfordeling som \(Z,\) dvs \[Y\sim \text{N}\left(\sum_{i=1}^na_i\mu_i+b,\sum_{i=1}^n a_i^2\sigma_i^2\right).\] Teoremet er dermed bevist.

Kommentar

Det viktige resultatet i teoremet er at enhver lineærkombinasjon av uavhengige og normalfordelte variabler er normalfordelt. Formlene for forventningsverdi og varians til \(Y\) kan man lett utlede ved å benytte henholdsvis regneregler for forventningsverdi til lineære funksjoner og regneregler for varians til lineære funksjoner.

Anvendelser av teoremet

Teoremet brukes ofte i forbindelse med utledning av konfidensintervall og konstruksjon av hypotesetester. Variabelen som kalles \(Y\) i teoremet vil da typisk være en estimator for verdien til en parameter.

Spesialtilfelle

Et viktig spesialtilfelle av teoremet over er når \(n=1.\) Da kan vi fjerne indeksene og teoremet over gir direkte følgende resultatet.

Relevante lenker

Eksamensoppgaver:
- TMA4245 Statistikk 2019V [nb] [nn] [en] oppgave 6a
  Løsningsforslag: [nn]
- TMA4245 Statistikk 2016S [nb] [nn] [en] oppgave 2a
  Løsningsforslag: [nb]
- TMA4245 Statistikk 2016S [nb] [nn] [en] oppgave 3d
  Løsningsforslag: [nb]
- TMA4245 Statistikk 2016V [nb] [nn] [en] oppgave 1b
  Løsningsforslag: [nb]
- TMA4245 Statistikk 2014S [nb] [nn] oppgave 1a
  Løsningsforslag: [nb]