Gammafordeling

Gammafordelingen er en fleksibel fordeling som kun har positiv sannsynlighetstetthet for positive tall. To viktige spesialtilfeller av gammafordelingen er eksponensialfordelingen og kjikvadratfordelingen.

Gammafordeling

Vi starter med å definere gammafordelingen ved å angi hvilken parametriske form sannsynlighetstettheten skal ha.

Notasjon

Det benyttes ulike notasjoner for å spesifisere at en stokastisk variabel \(X\) er gammafordelt med parametre \(\alpha\) og \(\beta.\) Det kanskje mest vanlige er å skrive \(X\sim \text{Ga}(\alpha,\beta).\)

En alternativ parametrisering som benyttes mye er å la parametrene i fordelingen være \(\alpha\) og \(\frac{1}{\beta}.\) Spesielt forvirrende er det at man da gjerne kaller \(\frac{1}{\beta}\) for \(\beta,\) slik at sannsynlighetstettheten med denne parametriseringen blir

\[ f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\beta x} & \text{for \(x\geq 0,\)}\\ 0 & \text{ellers.}\end{array}\right. \]

Eksempler på sannsynlighetstetthet

Figur 1, 2 og 3 viser sannsynlighetstettheter for ulike gammafordelinger. I figur 1 er \(\beta=0.5\), i figur 2 er \(\beta=1.5\) og i figur 3 er \(\beta=2.0.\) I hver av de tre figurene vises tilfellet \(\alpha=0.75\) i rødt, tilfellet \(\alpha=1.5\) i blått og tilfellet \(\alpha=3.0\) i grønt.

Figur 1: Sannsynlighetstettheter i en gammafordeling med \(\beta=0.75.\) Sannsynlighetstettheten når \(\alpha=0.75\) vises i rødt, tilfellet \(\alpha=1.5\) i blått, og tilfellet \(\alpha=3.0\) i grønt.

Figur 2: Sannsynlighetstettheter i en gammafordeling med \(\beta=1.5.\) Sannsynlighetstettheten når \(\alpha=0.75\) vises i rødt, tilfellet \(\alpha=1.5\) i blått, og tilfellet \(\alpha=3.0\) i grønt.

Figur 3: Sannsynlighetstettheter i en gammafordeling med \(\beta=3.0.\) Sannsynlighetstettheten når \(\alpha=0.75\) vises i rødt, tilfellet \(\alpha=1.5\) i blått, og tilfellet \(\alpha=3.0\) i grønt.

Forventningsverdi og varians

Definisjon av forventningsverdi gir

\[ \begin{align} \text{E}[X] &= \int_{-\infty}^\infty x f(x)\text{d}x\\ &= \int_0^\infty x\cdot \frac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\frac{x}{\beta}} \text{d}x\\ &= \int_0^\infty \frac{\beta^{\alpha + 1}\Gamma(\alpha + 1)}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)}\\ &\cdot \frac{1}{\beta^{\alpha + 1}\Gamma(\alpha + 1)} x^{(\alpha + 1)-1}e^{-\frac{x}{\beta}}\text{d}x\\ &=\frac{\beta^{\alpha + 1}\Gamma(\alpha + 1)}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)}\\ &\cdot \int_0^\infty \frac{1}{\beta^{\alpha + 1}\Gamma(\alpha + 1)} x^{(\alpha + 1)-1}e^{-\frac{x}{\beta}}\text{d}x\\ &=\frac{\beta\Gamma(\alpha + 1)}{\Gamma(\alpha)}\\ &\cdot \int_0^\infty \frac{1}{\beta^{\alpha + 1}\Gamma(\alpha + 1)} x^{(\alpha + 1)-1}e^{-\frac{x}{\beta}}\text{d}x. \end{align} \]

Her kan vi gjenkjenne integranden som sannsynlighetstettheten til en gammafordeling med parametre \(\alpha + 1\) og \(\beta\) og dermed må integralet være lik en, se generell egenskap til sannsynlighetstettheter. Hvis man i tillegg bruker kjent rekursjonsformel for gammafunksjonen, \(\Gamma (\alpha + 1)=\alpha \Gamma(\alpha),\) kan uttrykket for forventningsverdien forenkles til

\[ \text{E}[X] = \alpha\beta, \]

som var det vi skulle bevise for forventningsverdien.

For regne ut variansen starter vi med å regne ut \(\text{E}[X^2].\) Regneregelen for forventningsverdi av en funksjon av en stokastisk variabel gir

\[ \begin{align} \text{E}[X^2] &= \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x)\text{d}x\\ &= \int_0^\infty x^2 \cdot \frac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\frac{x}{\beta}}\text{d}x\\ &=\int_0^\infty \frac{\beta^{\alpha + 2}\Gamma(\alpha + 2)}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)}\\ &\cdot \frac{1}{\beta^{\alpha + 2}\Gamma(\alpha + 2)} x^{(\alpha + 2)-1}e^{-\frac{x}{\beta}}\text{d}x\\ &=\frac{\beta^{\alpha + 2}\Gamma(\alpha + 2)}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)}\\ &\cdot \int_0^\infty \frac{1}{\beta^{\alpha + 2}\Gamma(\alpha + 2)} x^{(\alpha + 2)-1}e^{-\frac{x}{\beta}}\text{d}x\\ &=\frac{\beta^2\Gamma(\alpha + 2)}{\Gamma(\alpha)}\\ &\cdot \int_0^\infty \frac{1}{\beta^{\alpha + 2}\Gamma(\alpha + 2)} x^{(\alpha + 2)-1}e^{-\frac{x}{\beta}}\text{d}x. \end{align} \]

Her gjenkjenner vi integranden som sannsynlighetstettheten til en gammafordeling med parametre \(\alpha + 2\) og \(\beta\) og dermed må integralet være lik en, se generell egenskap til sannsynlighetstettheter. Hvis man i tillegg bruker kjent rekusjonsformel for gammafunksjonen, \(\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)\) to ganger, kan uttrykket for forventningsverdien forenkles

\[ \begin{align} \text{E}[X^2] &= \frac{\beta^2(\alpha + 1)\Gamma(\alpha + 1)}{\Gamma(\alpha)}\\ &= \frac{\beta^2(\alpha+1)\alpha\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}\\ &= \beta^2(\alpha+1)\alpha. \end{align} \]

Ved å benytte regneregelen for hvordan varians kan uttrykkes ved hjelp av forventningsverdier får vi dermed

\[ \begin{align} \text{Var}[X] &= \text{E}[X^2] - \text{E}[X]^2\\ &= \beta^2(\alpha+1)\alpha - \left(\alpha\beta\right)^2\\ &= \alpha\beta (\beta(\alpha+1)-\alpha\beta)\\ &= \alpha\beta (\alpha\beta + \beta - \alpha\beta)\\ &= \alpha\beta^2, \end{align} \]

som er det vi skulle bevise for variansen.

Kumulativ fordelingsfunksjon

Kumulativ fordelingsfunksjon kan finnes ved å benytte generell sammenheng mellom \(f(x)\) og \(F(x).\) For \(x\geq 0\) får vi her

\[ F(x) = \int_0^x \frac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} t^{\alpha - 1} e^{-\frac{t}{\beta}}\text{d}t \]

Generelt kan dette integralet dog ikke skrives på noen enkel analytisk form. Nå er det relativt sjelden man har behov for å evaluere \(F(x)\) i en gammafordeling, men hvis man likevel kommer i en situasjon hvor man har behov for dette bør man benytte et dataprogram der evaluering av \(F(x)\) er implementert.

Kvantil

\((1-\alpha)\)-kvantilen \(x_\alpha\) til en gammafordeling med parametre \(\alpha\) og \(\beta\) kan man i prinsippet finne ved å løse ligningen \(F(x_\alpha)=1-\alpha\) med hensyn på \(x_\alpha.\) Denne ligningen har dog ingen enkel analytisk form. Det er relativt sjelden man har behov for å finne kvantiler i en gammafordeling, men hvis man likevel kommer i en situasjon hvor man har behov for dette bør man benytte et dataprogram der utregning av kvantiler er implementert.

Sammenheng med andre fordelinger

Det finnes sammenhenger mellom gammafordeling og en del andre fordelinger. Disse sammenhengene diskuteres på følgende temasider: