Eksponensialfordeling som spesialtilfelle av gammafordeling

Anta at \(X\) er gammafordelt med parametre \(\alpha=1\) og \(\beta=\frac{1}{\lambda}.\) For \(x\geq 0\) er dermed sannsynlighetstettheten for \(X\) gitt som \begin{align}f(x)&=\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}\\ &= \frac{1}{\left(\frac{1}{\lambda}\right)^1\Gamma(1)} x^{1-1} e^{-\frac{x}{1/\lambda}}\\ &= \lambda e^{-\lambda x},\end{align} der vi i den siste overgangen har benyttet at \(\Gamma(1)=1\) og \(x^0=1.\) Denne \(f(x)\) gjenkjenner vi som sannsynlighetstettheten til en eksponensialfordeling med parameter \(\lambda.\)

Vi har dermed vist at en gammafordeling med parametre \(\alpha=1\) og \(\beta=\frac{1}{\lambda}\) er identisk med en eksponensialfordeling med parameter \(\lambda.\)