\[
\begin{align}
\text{E}[X] &= \sum_{x=1}^\infty x f(x) = \sum_{x=1}^\infty x p (1-p)^{x-1}\\
&= \frac{p}{1-p}\sum_{x=1}^\infty x(1-p)^x\\
&= \frac{p}{1-p}\sum_{x=0}^\infty x(1-p)^x,
\end{align}
\]
der vi i den siste overgangen har benyttet at \(x(1-p)^x\) blir lik null for \(x=0.\) For å finne et eksplisitt uttrykk for \(\text{E}[X]\) trenger vi dermed å utlede en formel for summen \(S = \sum_{k=0}^\infty ka^k\) for \(a\in (0,1).\) Ved først å benytte at det første leddet i summen er lik null og deretter foreta variabeltransformasjonen \(k=t+1 \Leftrightarrow t=k-1\) får vi
\[
\begin{align}
S &= \sum_{k=0}^\infty ka^k = \sum_{k=1}^\infty ka^k\\
&= \sum_{t=0}^\infty (t+1) a^{t+1}\\
&= \sum_{t=0}^\infty t a^{t+1} + \sum_{t=0}^\infty a^{t+1}\\
&= a\sum_{t=0}^\infty ta^t + a\sum_{t=0}^\infty a^t\\
&= aS + a\cdot \frac{1}{1-a},
\end{align}
\]
der vi i den siste overgangen benytter at vi kjenner summen av en geometrisk rekke, \(\sum_{k=0}^\infty a^k=\frac{1}{1-a}\) når \(a\in (0,1).\) Vi har altså at \(S\) må oppfylle ligningen \(S=aS+\frac{a}{1-a}.\) Ved å løse denne ligningen ved hensyn på \(S\) får vi at
\[
S = \sum_{k=0}^\infty ka^k = \frac{a}{(1-a)^2}.
\]
Ved å benytte denne summeformelen for \(a=1-p\) i uttrykket for \(\text{E}[X]\) gitt over får vi
\[
\begin{align}
\text{E}[X] &= \frac{p}{1-p} \cdot \frac{1-p}{(1-(1-p))^2} = \frac{1}{p},
\end{align}
\]
som er det vi skulle vise for forventningsverdien.
For å bestemme variansen starter vi med å bestemme \(\text{E}[X(X-1)].\) Fra \(\text{E}[X(X-1)]\) kan vi lett finne \(\text{E}[X^2]\), og fra denne og uttrykket vi fant for \(\text{E}[X]\) kan vi deretter finne \(\text{Var}[X].\)
For å finne \(\text{E}[X(X-1)]\) bruker vi regneregelen for forventningsverdi av en funksjon av en stokastisk variabel og får
\[
\begin{align}
\text{E}[X(X-1)] &= \sum_{x=1}^\infty x(x-1) f(x)\\
&= \sum_{x=1}^\infty x(x-1) p(1-p)^{x-1}\\
&= \frac{p}{p-1}\sum_{x=0}^\infty x(x-1)(1-p)^x,
\end{align}
\]
hvor vi i siste overgang brukte at \(x(1-x)(1-p)^x\) er lik null for \(x=0.\) For å finne et eksplisitt uttrykk for \(\text{E}[X(X-1)]\) trenger vi dermed å utlede en formel for summen \(T=\sum_{k=0}^\infty k(k-1)a^k\) for \(a\in(0,1).\) Ved først å benytte at de to første leddene i summen blir lik null og deretter foreta variabeltransformasjonen \(k=t+2\Leftrightarrow t=k-2\) får vi
\[
\begin{align}
T &= \sum_{k=0}^\infty k (k-1)a^k = \sum_{k=2}^\infty k(k-1)a^k\\
&= \sum_{t=0}^\infty (t+2)(t+1)a^{t+2}\\
&= a^2 \sum_{t=0}^\infty (t+2) ((t-1)+2) a^t\\
&=a^2\left[ \sum_{i=0}^\infty t(t-1)a^t + 2\sum_{t=0}^\infty ta^t\right.\\
&+\left. 2\sum_{t=0}^\infty (t-1)a^t + 4\sum_{t=0}^\infty a^t\right]\\
&=a^2\left[ T + 2S +2\sum_{t=0}^\infty ta^t + (-2+4)\sum_{t=0}^\infty a^t\right]\\
&=a^2\left[ T+4S+2\cdot \frac{1}{1-a}\right],
\end{align}
\]
der \(S\) er summen vi definerte i forbindelse med utregning av forventningsverdien, og vi i den siste overgangen igjen har brukt at vi kjenner summen av en geometrisk rekke. Vi har altså at \(T\) må oppfylle ligningen \(T=a^2\left(T+4S+\frac{2}{1-a}\right).\) Ved å løse denne ligningen med hensyn på \(T\), sette inn uttrykket vi allerede har for \(S\) og så forenkle uttrykket får vi
\[
T = \frac{2a}{(1-a)^3}.
\]
Ved å benytte denne summeformelen for \(a=1−p\) i uttrykket for \(\text{E}[X(X-1)]\) gitt over får vi
\[
\begin{align}
\text{E}[X(X-1)] &= \frac{p}{1-p}\cdot \frac{2(1-p)}{1-(1-p))^3}\\
&= \frac{2(1-p)}{p}.
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\text{E}[X^2] &= \text{E}[X(X-1) + X]\\
&= \text{E}[X(X-1)]+\text{E}[X]\\
&= \frac{2(1-p)}{p^2} + \frac{1}{p}\\
&= \frac{2-p}{p^2}.
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\text{Var}[X] &= \text{E}[X^2] - \text{E}[X]^2\\
&= \frac{2-p}{p^2} - \left(\frac{1}{p}\right)\\
&= \frac{2-p-1}{p^2}\\
&= \frac{1-p}{p^2},
\end{align}
\]
