Geometrisk fordeling som spesialtilfelle av negativ binomisk fordeling

Anta at \(X\) er negativt binomisk fordelt med parametre \(k=1\) og \(p.\) For \(x=1,2,\ldots\) er da punktsannsynligheten til \(X\) gitt som \begin{align}f(x) &= \binom{x-1}{k-1}p^k (1-p)^{x-k}\\ &=\binom{x-1}{1-1} p^1 (1-p)^{x-1}\\ &= \binom{x-1}{0} p (1-p)^{x-1}\\ &= p(1-p)^{x-1},\end{align} som vi gjenkjenner som punktsannsynligheten til en geometrisk fordeling med parameter \(p.\)

Vi har dermed vist at en negativt binomisk fordeling med parametre \(k=1\) og \(p\) er identisk med en geometrisk fordeling med parameter \(p.\)

Kommentar

Resultatet vist over følger også direkte fra situasjonene som definerer negativt binomisk fordeling og geometrisk fordeling.