Regneprosedyre: Forkastningsområdemetoden

Anta at vi har uavhengige stokastiske variabler \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) der \(X_i\sim f_{X_i}(x_i;\theta)\) for \(i=1,2,\ldots,n,\) der verdien til parameteren \(\theta\) er ukjent. Anta videre at vi har observert verdier \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) for de stokastiske variablene \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) og vi ønsker nå å benytte disse observerte verdiene til å teste om det er grunnlag for en angitt påstand om verdien til \(\theta.\) Dessuten antar vi at vi har valgt eller er gitt hvilket signifikansnivå \(\alpha\) vi skal bruke i hypotesetesten.

Forkastningsområdemetoden kan utføres ved følgende prosedyre.

1. Velg nullhypotese \(H_0\) og alternativ hypotese \(H_1.\) Start med å velge den alternativ hypotesen \(H_1\) som det man ønsker å undersøke om observasjonene gir grunnlag for å påstå. Velg så \(H_0\) som «det motsatte» av \(H_1,\) der vi skriver det motsatte i hermetegn fordi det er vanlig å benytte likhetstegn til å formulere \(H_0.\) I praksis betyr dette at man har tre muligheter for valg av \(H_1\) og \(H_0.\) For en kjent verdi \(\theta_0\) vil man enten teste a) \(H_0: \theta = \theta_0\) mot \(H_1: \theta > \theta_0,\) eller man vil teste b) \(H_0: \theta=\theta_0\) mot \(H_1: \theta < \theta_0,\) eller man vil teste c) \(H_0: \theta = \theta_0\) mot \(H_1: \theta \neq \theta_0.\)
2. Velg eller finn en estimator for parameteren \(\theta.\) Videre lar vi denne estimatoren være \(\widehat{\theta}.\)
3. Velg som testobservator en funksjon av \(\widehat{\theta}\) og \(\theta_0\) slik at denne har en kjent sannsynlighetsfordeling når \(H_0\) er riktig. Videre lar vi her denne testobservatoren være \[T=u(\widehat{\theta},\theta_0).\]
4. Bestemme type beslutningsregel. Hvordan denne beslutningsregelen blir vil både avhenge av hva man har valgt som \(H_1\) og av om testobservatoren \(T=u(\widehat{\theta},\theta_0)\) er en voksende eller avtagende funksjon av \(\widehat{\theta}.\) Dersom testobservatoren er en voksende funksjon av \(\widehat{\theta}\) vil beslutningsregelen for de tre mulige hypotesene \(H_1\) diskutert i punkt 1 bli henholdsvis a) forkaste \(H_0\) dersom \(T \geq k,\) b) forkaste \(H_0\) dersom \(T \leq k\) og c) forkaste \(H_0\) dersom \(T\leq k_l\) eller \(T\geq k_u,\) der \(k\) eller \(k_l\) og \(k_u\) er kritiske verdier og hvor verdiene til denne eller disse bestemmes i neste punkt. Dersom testobservatoren \(T=u(\widehat{\theta},\theta_0)\) derimot er en avtagende funksjon av \(\widehat{\theta}\) blir beslutningsregelen for de tre mulige hypotesene \(H_1\) i punkt 1 henholdsvis a) forkast \(H_0\) dersom \(T\leq k,\) b) forkast \(H_0\) dersom \(T\geq k\) og c) forkast \(H_0\) dersom \(T\leq k_l\) eller \(T\geq k_u.\)
5. Bestem verdi for den kritiske verdien \(k\) eller de kritiske verdiene \(k_l\) og \(k_u\) ut fra kravet \[P(\text{Forkast \(H_0\)}|H_0)\leq \alpha,\] der \(k\) eller \(k_l\) og \(k_u\) skal velges slik at sannsynligheten blir så nær \(\alpha\) som mulig slik at ulikheten oppfylles, se diskusjon på temasiden som diskuterer beslutningsregel.
6. Regn ut observert verdi for testobservatoren. Dette vil si at man først må erstatte de stokastiske variablene \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) i uttrykket man har for estimatoren \(\widehat{\theta}\) med de tilhørende observerte verdiene \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) og dermed regne ut et estimat \(\widehat{\theta}\) for \(\theta.\) Deretter setter man dette estimatet inn i uttrykket man har for testobservatoren og regner ut en observert verdi \[t = u(\widehat{\theta},\theta_0).\]
7. Trekk konklusjon. Dersom ulikhetene i beslutningsregelen bestemt i punkt 4 er korrekt når man setter inn kritiske verdier bestemt i punkt 5 og testobservatoren \(T\) erstattes med den observerte verdien \(t_{\tiny \text{obs}},\) er konklusjonen å forkaste \(H_0,\) i motsatt fall er konklusjonen ikke å forkaste \(H_0.\)

Kommentar

Man bør merke seg at det også finnes en alternativ prosedyre for å utføre en hypotesetest, den såkalte p-verdi-metoden. De fire første trinnene i p-verdi-metoden er identisk med prosedyren beskrevet over, men fra og med trinn 5 er de to metodene forskjellige.