Betinget sannsynlighet

Vi starter med å gi en matematisk definisjon av begrepet betinget sannsynlighet.

Tolkning av betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet er sannsynlighet under tilleggsinformasjon. \(P(B|A)\) er sannsynligheten for at hendelsen \( B\) har skjedd dersom vi allerede vet at hendelsen \( A\) har skjedd. Tilleggsinformasjonen vi får er altså at hendelsen \( A\) har skjedd, og det kan naturlig nok endre sannsynligheten for hendelsen \( B\).

Motivasjon for definisjonen

En intuitiv motivasjon for definisjonen av betinget sannsynlighet gitt over får vi vet å tolke sannsynlighet for en hendelse som arealet av denne hendelsen i et venndiagram. Betrakt hendelsene \(A\) og \(B\) i venndiagrammet i figur 1.

Når vi vet at hendelsen \( A\) har skjedd vil mengden av alle mulige utfall bare være de som er inneholdt i \( A\). Når vi da betrakter en hendelse \( B\) vil det kun være den delen av \( B\) som også er inneholdt i \( A\), dvs \( A\cap B\), som kan skje. Det er dermed naturlig å si at sannsynligheten for \( B\) gitt \( A\) er andelen av arealet av \( A\) som også er inneholdet i \( B\), \[P(B|A) =\frac{\text{areal}(A\cap B)}{\text{areal}(A)}.\] Ved å sette inn tolkningene \( P(A\cap B) = \text{areal}(A\cap B)\) og \( P(A)=\text{areal}(A)\) i denne ligningen får vi \[P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)},\] som er identisk med definisjonen gitt over.