Momentgenererende funksjon til en lineær funksjon

Regneregel

Anta at vi har definert en eller flere uavhengige stokastiske variabler og at vi ønsker å regne ut momentgenererende funksjon til en lineær funksjon av disse variablene. På temasiden du ser på nå formulerer vi tre regneregler som kan benyttes i denne situasjonen. Ved å kombinere disse regnereglene kan man finne et forenklet uttrykk for momentgenererende funksjon til enhver lineær funksjon av uavhengige stokastiske variabler.

Momentgenererende funksjon til en lineær funksjon

Vi starter med å formulere et teorem som angir tre av regnereglene vi skal formulere på denne temasiden.

Momentgenererende funksjon til en lineær funksjon av stokastiske variabler

For å bevise de tre regnereglene i teoremet benytter vi definisjonen av momentgenererende funksjon og regneregler for forventningsverdi til en lineær funksjon.

Definisjonen av momentgenererende funksjoner gir at \begin{align}M_{X+a}(t)&=\text{E}\left[ e^{t(X+a)}\right]\\ &= \text{E}\left[ e^{tX+ta}\right]\\ &= \text{E}\left[ e^{ta} \cdot e^{tX}\right].\end{align} Setter så \(e^{ta}=e^{at}\) utenfor forventningsoperatoren \(\text{E}\), og får \begin{align}M_{X+a}(t) &= e^{at}\text{E}\left[e^{tX}\right]\\ &= a^{at}M_X(t)\end{align} og regneregelen er bevist.
Definisjonen av momentgenererende funksjoner gir at \begin{align}M_{aX}(t)&=\text{E}\left[ e^{t(aX)}\right]\\ &=\text{E}\left[ e^{(at)X}\right]\\ &=M_X(at),\end{align} hvor man også i den siste overgangen benytter definisjonen av momentgenererende funksjoner.
Starter igjen med å benytte definisjonen av momentgenererende funksjoner, \begin{align}M_{X_1+X_2+\ldots+X_n}(t) &=\text{E}\left[e^{t(X_1+X_2+\ldots+X_n)}\right]\\ &= \text{E}\left[ e^{tX_1+tX_2+\ldots+tX_n}\right]\\ &=\text{E}\left[e^{tX_1}\cdot e^{tX_2}\cdot\ldots\cdot e^{tX_n}.\right]\end{align} Benytter så at forventningsverdien til et produkt av uavhengige stokastiske variabler er lik produktet av forventningsverdiene, \begin{align}M_{X_1+X_2+\ldots+X_n}(t) &= \text{E}\left[e^{tX_1}\right]\cdot \text{E}\left[e^{tX_2}\right]\cdot\ldots\cdot\text{E}\left[e^{tX_n}\right]\\ &= M_{X_1}(t)\cdot M_{X_2}(t)\cdot\ldots\cdot M_{X_n}(t),\end{align} og regneregelen er bevist.

Kommentar

Ved å kombinere de tre regnereglene i teoremet over kan man finne uttrykk for enhver lineær funksjon av en eller flere uavhengige stokastiske variabler. Den typiske anvendelsen av disse regnereglene er for å bevise teoremer som sier at en gitt lineær funksjon av stokastiske variabler har en angitt sannsynlighetsfordeling.

Eksempler

Eksempler på bruk av regnereglene i teoremet finner du blant annet i bevisene til teoremene som diskuteres på følgende temasider: