Momentgenererende funksjon

Vi starter med å definere momentegenerende funksjon for en stokastisk variabel.

Kommentar

Dersom \(X\) er en diskret stokastisk variabel med punktsannsynlighet \(f(x)\) blir dermed \[M_X(t) = \text{E}\left[ e^{tX}\right] = \sum_x e^{tx} f(x),\] mens dersom \(X\) er en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet \(f(x)\) får man at \[M_X(t) = \text{E}\left[ e^{tX}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x)\text{d}x.\]

Notasjon

En momentgenererende funksjon \(M_X(t)\) er en vanlig matematisk funksjon slik man er vant til fra matematikk, og det er vanlig å benytte \(t\) for den uavhengige variabelen. Navnet på funksjonen er \(M_X\) der indeksen \(X\) minner oss på at dette er momentgenererende funksjon for \(X\). Merk at man også kan regne ut momentgenererende funksjon for en funksjon av \(X\), for en konstant \(a\) er for eksempel momentgenererende funksjon for den stokastiske variabelen \(aX\) gitt ved \[M_{aX}(t) = \text{E}\left[ e^{taX}\right].\] Tilsvarende er \(M_{X+a}(t)\) momentgenererende funksjon for \(X + a\).

Tolkning

Det skal nevnes at momentgenererende funksjon for en kontinuerlig stokastisk variabel er nært relatert til laplacetransformasjonen som benyttes i matematikk. Bortsett fra dette har momentgenererende funksjon ingen spesielt naturlig tolkning. Som for enhver annen matematisk funksjon kan man selvfølgelig plotte opp \(M_X(t)\), men ut fra et slikt plott er det ikke mulig å angi hvilke egenskaper \(X\) har. Det mest hensiktsmessige er å betrakte momentgenererende funksjoner som et matematisk verktøy som vi kan benytte til å bevise en del sammenhenger mellom ulike typer av sannsynlighetsfordelinger.

Anvendelser

Den viktigste anvendelsen av momentgenererende funksjoner er for å bevise teoremer som angir hvilken fordeling en (som oftest lineær) funksjon av en eller flere stokastiske variabler har. Slike beviser er basert på et teorem som sier at hvis de momentgenererende funksjonene til to stokastiske variabler er like er også sannsynlighetsfordelingene til disse to variablene identiske. Dette teoremet er formulert (uten bevis) og kort diskutert under. I anvendelser av dette teoremet trenger man som oftest også regneregler for momentgenerende funksjoner.

Kommentar

Dette teoremet betyr at for å bevise at to stokastiske variabler \(X\) og \(Y\) har samme sannsynlighetsfordeling er det tilstrekkelig å vise at \(M_X(t)=M_Y(t)\). En trinn-for-trinn beskrivelse av hvordan er slik bevis typisk er bygd opp er fomulert og diskutert på en egen temaside.

Som nevnt i innledningen til temasiden du ser på nå kan man benytte momentgenererende funksjon til å finne momentene til en stokastisk variabel. Vi definerer nå hva et moment er og diskuterer etterpå sammenhengen mellom disse og forventningsverdi og varians.

Sammenheng med forventningsverdi og varians

Ved å sette \(r=1\) i definisjonen over får man \[\mu_1 = \text{E}[X],\] og ved å sette \(r=2\) får man \[\mu_2 = \text{E}\left[ X^2\right].\] Ved å bruke at varians kan uttrykkes ved forventningsverdier får vi dermed \begin{align}\text{Var}[X] &= \text{E}\!\left[X^2\right] - \text{E}[X]^2\\ &= \mu_2-\mu_1^2.\end{align} Dersom vi har første og andre ordens moment, \(\mu_1\) og \(\mu_2,\) til en stokastisk variabel kan vi dermed lett finne forventningsverdi og varians til denne variabelen.

Regne ut momenter

For å regne ut \(r\)-te ordens moment til en stokastisk variabel \(X\) er en mulighet å benytte regneregelen som sier hvordan vi kan finne forventningsverdien til en funksjon av en stokastiske variabel. Dersom \(X\) er en diskret stokastisk variabel må vi da evaluere summen \[\mu_r=\text{E}\!\left[X^r\right] = \sum_{x}x^r f(x),\] og hvis \(X\) er en kontinuerlig stokastisk variabel må vi evaluere integralet \[\mu_r = \mbox{E}\!\left[X^r\right] = \int_{-\infty}^\infty x^r f(x)\text{d}x.\]

Et alternativ måte for å bestemme \(r\)-te ordens moment \(\text{E}\!\left[X^r\right]\) til en stokastisk variabel \(X,\) er å ta utgangspunkt i dens momentgenererende funksjon \(M_X(t).\) Hvis man først har funnet den momentgenererende funksjonen til en stokastisk variabel, viser det seg nemlig at man ganske enkelt kan bestemme momentene. Et teorem som gir hvordan momentene kan finnes fra en momentgenererende funksjon diskuterer vi på en egen temaside.