Varians til en lineær funksjon
Regneregel
Anta at vi har definert en eller flere stokastiske variabler og at vi ønsker å regne ut variansen til en lineær funksjon av disse variablene. På temasiden du ser på nå formulerer vi tre regneregler som kan benyttes i denne situasjonen. Ved å kombinere disse regnereglene, og eventuelt regneregler for kovarians, kan man finne et forenklet uttrykk for variansen til enhver lineær funksjon av stokastiske variabler.
Man skal merke seg at dersom man er interessert i å finne forventningsverdien til en funksjon av stokastiske variabler som ikke er lineær i de stokastiske variablene kan man ikke benytte regnereglene som er formulert på temasiden du ser på nå. Da må man benytte en mer generell regneregel. Slike regneregler er diskutert på en egen temaside.
Varians til en lineære funksjon
Vi starter med å formulere et teorem som angir tre av regnereglene vi skal formulere på denne temasiden.
Kommentarer
Det første punktet sier at variansen til en konstant alltid er lik null. Dette er intuitivt rimelig dersom vi tenker på at varians måler variasjon når vi gjentar et stokastisk forsøk uendelig mange ganger. En konstant vil jo ikke variere selv om vi gjentar et forsøk og det er dermed rimelig at variansen er lik null.
Det andre punktet sier at en multiplikative konstant \(a\) må kvadreres når den settes utenfor \(\text{Var}\)-operatoren.
I det siste punktet er det viktig å merke seg at variansen til en sum ikke er lik summen av variansene. For å bestemme variansen til en sum av to stokastiske variabler må man også ta hensyn til kovariansen mellom disse to variablene.
Spesialtilfelle
Kovariansen mellom uavhengige stokastiske variabler er alltid lik null, så dersom \(X\) og \(Y\) er uavhengige stokastiske variabler er \(\text{Cov}[X,Y]=0\) slik at vi får \[\text{Var}[X+Y] = \text{Var}[X] + \text{Var}[Y].\]
Varians til en sum
Den siste egenskapen gitt i teoremet over kan generaliseres til en sum av flere stokastiske variabler.
Spesialtilfelle
Dersom \(X_1,\ldots,X_n\) er uavhengige stokastiske variabler har vi at \(\text{Cov}[X_i,X_j]=0\) for \(i\neq j\), se regneregel for kovarians mellom uavhengige stokastiske variabler, slik at resultatet i teoremet forenkler seg til \[\text{Var}\!\left[ \sum_{i=1}^nX_i\right] = \sum_{i=1}^n \text{Var}[X_i].\]
Dette er et viktig spesialtilfelle, da vi svært ofte vil ha å gjøre med stokastiske variabler som er antatt å være uavhengige. Det er dog viktig å huske på at i de få tilfellene hvor vi har å gjøre med stokastiske variabler som ikke er uavhengige, så er det bare den generelle formelen gitt i teoremet over som gjelder.