Det er mulig å finne \text{E}[X] ved å ta utgangspunkt i definisjonen av forventningsverdi, dvs ved å ta utgangspunkt i \text{E}[X] = \sum_{x=0}^n x \cdot \frac{\binom{k}{x}\binom{N-k}{n-x}}{\binom{N}{n}}, men regningen blir enklere hvis vi i stedet starter med å tenke oss at vi har nummerert de røde kulene fra 1 til k og definerer Z_i = \left\{\begin{array}{ll} 1 & \text{hvis rød kule nummer \(i\) blir trukket ut},\\ 0 & \text{ellers.}\end{array}\right. for i=1,2,\ldots,k. Da har vi åpenbart at X = \sum_{i=1}^k Z_i. Vi kan dermed finne forventningsverdi og varians til X ved først å regne ut \text{E}[Z_i] og \text{Var}[Z_i] og så etterpå bruke regneregler for forventningsverdi og varians til lineære funksjoner.
Før vi kan finne forventningsverdien til Z_i må vi finne P(Z_i=1). Vi velger da å beskrive utfallet av det stokastiske forsøket som definere hypergeometrisk fordeling ved hvilke kuler vi trekker ut. Vi tar altså ikke hensyn til i hvilken rekkefølge kulene blir trukket ut, kun hvilke kuler som er trukket ut. Vi har da en urnemodell der vi ser på et ikke-ordnet utvalg og trekker kuler uten tilbakelegging. Dermed får vi en uniform sannsynlighetsmodell, slik at sannsynligheten for enhver hendelse er lik antall gunstige utfall delt på antall mulige utfall, P(Z_i=1) = \frac{g}{m}. Vi finner antall mulige utfall, m, ved å benytte kombinatorikkregelen for ikke-ordnet utvalg, trekning uten tilbakelegging. Vi har N kuler totalt og skal trekke ut n kuler slik at m = \binom{N}{n}. For å få et gunstig utfall må en av trekningene gi rød kule nummer i, mens de øvrige n-1 trekningene kan gi hvilken som helst av de resterende N-1 kulene i urna, noe som ifølge samme kombinatorikkregel kan gjøres på g=\binom{N-1}{n-1} mulige måter. Dermed får vi at
\begin{align}
P(Z_i=1) &= \frac{g}{m} = \frac{\binom{N-1}{n-1}}{\binom{N}{n}}\\
&= \frac{\frac{(N-1)!}{(n-1)! ((N-1)-(n-1))!}}{\frac{N!}{n! (N-n)!}}\\
&= \frac{n!}{(n-1)!} \cdot \frac{(N-1)!}{N!}\\
&= \frac{n}{N}.
\end{align}
\begin{align}
\text{E}[Z_i] &= \sum_{z=0}^1 z \cdot P(Z_i=z)\\
&= 0\cdot P(Z_i=0) + 1\cdot P(Z_i=1)\\
&= P(Z_i=1) = \frac{n}{N}.
\end{align}
\begin{align}
\text{E}[X] &= \text{E}\left[ \sum_{i=1}^k Z_i\right]\\
&= \sum_{i=1}^k \text{E}[Z_i]\\
&= \sum_{i=1}^k \frac{n}{N} = \frac{nk}{N},
\end{align}
\begin{align}
\text{E}[Z_i^2] &= \sum_{z=0}^1 z^2 P(Z_i=z)\\
&= 0^2 \cdot P(Z_i=0) + 1^2\cdot P(Z_i=1)\\
&= P(Z_i=1) = \frac{n}{N},
\end{align}
\begin{align}
\text{Var}[Z_i] &= \text{E}[Z_i^2] - \text{E}[Z_i]^2\\
&= \frac{n}{N} - \left(\frac{n}{N}\right)^2\\
&= \frac{n}{N}\cdot \frac{N-n}{N}.
\end{align}
\begin{align}
\text{E}[Z_i\cdot Z_j] &= \sum_{z_i=0}^1\sum_{z_j=0}^1 z_i z_j P(Z_i=z_i,Z_j=z_j)\\
&= 0\cdot 0\cdot P(Z_i=0,Z_j=0) \\
&+ 0\cdot 1\cdot P(Z_i=1,Z_j=0)\\
&+1\cdot 0\cdot P(Z_i=0,Z_j=1)\\
&=1\cdot 1\cdot P(Z_i=1,Z_j=1)\\
&= P(Z_i=1,Z_j=1)\\
&= P(Z_i=1) \cdot P(Z_j=1|Z_i=1)\\
&= \frac{n}{N}\cdot \frac{n-1}{N-1},
\end{align}
der vi har benyttet multiplikasjonssetningen, samt at sannsynligheten P(Z_j=1|Z_i=1) er gitt tilsvarende som sannsynligheten P(Z_i=1) bortsett fra at man har igjen en færre kuler i urna og en mindre trekning når man allerede vet resultatet av trekning nummer i. Dermed får vi at kovariansen blir
\begin{align}
\text{Cov}[Z_i,Z_j] &= \text{E}[Z_i\cdot Z_j] - \text{E}[Z_i]\cdot \text{E}[Z_j]\\
&= \frac{n}{N}\cdot \frac{n-1}{N-1} - \frac{n}{N}\cdot \frac{n}{N}\\
&=\frac{n}{(N-1)N^2}\left( N(n-1) - n(N-1)\right)\\
&= \frac{n}{(N-1)N^2} (Nn-N-nN+n)\\
&= -\frac{n(N-n)}{(N-1)N^2}.
\end{align}
\begin{align}
\text{Var}[X] &= \text{Var}\left[ \sum_{i=1}^k Z_i\right]\\
&= \sum_{i=1}^k \text{Var}[Z_i] + 2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1} \text{Cov}[Z_i,Z_j]\\
&=\sum_{i=1}^k \frac{n}{N}\cdot \frac{N-n}{N} \\
&+ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1} \left(- \frac{n(N-n)}{(N-1)N^2}\right)\\
&= \frac{kn}{N}\cdot \frac{N-n}{N}\\
&- 2\cdot \frac{k(k-1)}{2}\cdot \frac{n(N-n)}{(N-1)N^2}\\
&= \frac{k n (N-n)}{N(N-1)}\left( \frac{N-1}{N}-\frac{k-1}{N} \right)\\
&= \frac{k n (N-n)}{N(N-1)}(\frac{1}{N}(N-1-k+1))\\
&= \frac{k n (N-n)}{N(N-1)}(1-\frac{k}{N}),
\end{align}
som er formelen vi skulle bevise.