Forventningsverdi

Vi starter med å gi en matematisk definisjon av forventningsverdien til en stokastisk variabel.

Notasjon

Det benyttes ulike notasjoner for forventningsverdien til en stokastisk variabel \(X\). Den mest vanlige er kanskje \(\text{E}[X]\) som benyttes i definisjonen over. 'E'-en er her forkortelse for det engelske ordet for forventningsverdi, 'expectation'. Den greske bokstaven \(\mu\) er også mye benyttet som et symbol for forventningsverdi, eventuelt \(\mu_X\) der indeksen angir hvilken stokastisk variabel \(\mu_X\) er forventningsverdien til.

Tolkning av forventningsverdi 1

For å gi en tolkning av \(\text{E}[X]\) må man huske på at den stokastiske variabelen får en verdi ved at vi gjør et stokastisk forsøk. Anta nå at vi gjentar dette forsøket \(n\) ganger. Den stokastiske variabelen \(X\) vil da få en verdi for hvert av disse forsøkene. La \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) betegne verdiene \(X\) får i disse \(n\) forsøkene, og la \[\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\] betegne gjennomsnittsverdien til \(X\). Man kan da vise at dersom man lar \(n\) gå mot uendelig vil \(\bar{X}_n\) i en viss forstand konvergere mot forventningsverdien \(\text{E}[X]\), \[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \rightarrow \text{E}[X] \ \ \ \text{når}\ n\rightarrow \infty.\] Vi kan altså tenke på \(\text{E}[X]\) som gjennomsnittsverdien til \(X\) når vi gjentar forsøket uendelig mange ganger.

Tolkning av forventningsverdi 2

En annen tolkning av forventningsverdien får man ved å observere at definisjonen av \( \text{E}[X]\) matematisk sett er identisk med definisjonen av tyngdepunktet til et endimensjonalt legeme som har masse eller massetetthet \(f(x)\) i posisjon \(x\). Hvis man har plottet \(f(x)\) kan man ut fra denne tolkningen anslå cirka hva forventningsverdien til \(X\) er. Figur 1 og 2 viser to sannsynlighetsfordelinger \(f(x)\) og tilhørende forventningsverdier er markert. Figur 1 er for en diskret stokastisk variabel med forventningsverdi \(\text{E}[X]=2.5\), mens figur 2 er for en kontinuerlig stokastisk variabel med forventningsverdi \(\text{E}[X]=2\).

Spesialtilfelle

Dersom \(f(x)\) er symmetrisk om et punkt \(a\), dvs \(f(a-x)=f(a+x)\) for alle \(x\), vet vi at tyngdepunktet til et slikt legeme vil være i \(a\), og dermed vil også \(\text{E}[X]=a\). I figurene over er sannsynlighetstettheten vist i figur 2 symmetrisk om verdien \(2\), og dermed er \(\text{E}[X]=2\).

Forvetningsverdien til \(X\) er definert som en sum (for en diskret stokastisk variabel) eller et integral (for en kontinuerlig stokastisk variabel). Fra matematikk kjenner vi regneregler for summer og integraler og ut fra disse kan man utlede tilsvarende regneregler for forventningsverdioperatoren \(\text{E}\). Link til temasider hvor disse regnereglene er formulert og diskutert finnes under «Regneregler» nederst på denne siden.