Kjikvadratfordeling

Kjikvadratfordelingen er viktig spesialtilfelle av gammafordelingen. Kjikvadratfordelingen benytter svært ofte i forbindelse med konstruksjon av hypotesetester og en del også i forbindelse med konfidensintervall.

Kjikvadratfordeling

Vi starter med å definere kjikvadratfordelingen ved å angi hvordan man kan konstruere en variabel med denne fordelingen ut fra uavhengige standard normalfordelte variabler.

Kommentar

Kjikvadratfordelingen har altå en parameter, som vanligvis betegnes med den greske bokstaven \(\nu\) (som på norsk leses som «ny») Som angitt i definisjonen er det vanlig å kalle \(\nu\) for «antall frihetsgrader». Grunnen til at \(\nu\) kalles for dette er at \(X\) kan konstrueres ved hjelp av nettopp \(\nu\) standard normalfordelte \(Z_i\)'er. Siden \(Z_i\)'ene er uavhengige av hverandre kan man tenke seg at hver \(Z_i\) representerer en frihetsgrad.

Notasjon

For å spesifisere at en stokastisk variabel \(X\) er kjikvadratfordelt med \(\nu\) frihetsgrader er det vanlig å skrive \(X\sim \chi^2_\nu.\)

Sannsynlighetstetthet

Fra definisjonen av \(X\) er det åpenbart at \(X\geq 0,\) slik at \(f(x)=0\) for \(x<0.\) I resten av dette beviset ser vi derfor kun på tilfellet \(x\geq 0.\)

Vi ser først på tilfellet \(\nu=1,\) dvs \(X=Z_1^2.\) Kumulativ fordelingsfunksjon for \(X\) blir da

\[ \begin{align} F(x) &= P(X\leq x) = P(Z_1^2\leq x)\\ &= P(-\sqrt{x}\leq Z_1\leq \sqrt{x})\\ &= 2P(0 \leq Z_1\leq \sqrt{x})\\ &= 2\int_0^{\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}\text{d}x, \end{align} \]

der vi har brukt at sannsynlighetstettheten til \(Z_1\) er symmtrisk om \(0.\) Deriverer så denne for å finne tilhørende sannsynlighetstetthet. Vi kan bruke kjerneregelen for å finne den deriverte,

\[ \begin{align} f(x) &= 2\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\sqrt{x}\right)^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\\ &=\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}\sqrt{\pi}} x^{\frac{1}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}, \end{align} \]

som vi gjenkjenner som sannsynlighetstettheten gitt i teoremet for \(\nu=1,\) når vi husker på at \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.\)

For å bevise at \(X\) har den angitte sannsynlighetstetthet også for \(\nu>1\) skal vi bruke momentgenererende funksjoner Vi starter da med definere at en ny stokastisk variabel, \(Y,\) som har sannsynlighetstetthet lik den teoremet påstår at \(X\) har, dvs

\[ f_Y(y) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2^{\frac{\nu}{2}}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} y^{\frac{\nu}{2}-1}e^{-\frac{y}{2}} & \text{for \(x\geq 0,\)}\\ 0 & \text{ellers.}\end{array}\right. \]

Bruker så definisjonen av momentgenererende funksjoner og regneregelen for forventningsverdi av en funksjon av en stokastisk variabel,

\[ \begin{align} M_Y(t) &= \text{E}[e^{tY}]= \int_{-\infty}^\infty e^{ty}f_Y(y)\text{d}y\\ &= \int_0^\infty e^{ty} \frac{1}{2^{\frac{\nu}{2}}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} y^{\frac{\nu}{2}-1}e^{-\frac{y}{2}} \text{d}y\\ &=\int_0^\infty \frac{1}{2^{\frac{\nu}{2}}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} y^{\frac{\nu}{2}-1}e^{-\frac{y(1-2t)}{2}} \text{d}y. \end{align} \]

Kan så bruke substitusjonen \(u=y(1-2t)\Leftrightarrow y=\frac{u}{1-2t}\) som gir \(\text{d}y=\frac{\text{d}u}{1-2t}\) og dermed (for \(t\leq \frac{1}{2}\))

\[ \begin{align} M_Y(t) &= \int_0^\infty \frac{1}{2^{\frac{\nu}{2}}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left( \frac{u}{1-2t}\right)^{\frac{\nu}{2}-1} e^{-\frac{u}{2}} \frac{\text{d}u}{1-2t}\\ &=\frac{1}{(1-2t)^{\frac{\nu}{2}}} \int_0^\infty \frac{1}{2^{\frac{\nu}{2}}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} u^{\frac{\nu}{2}-1}e^{-\frac{u}{2}} \text{d}u. \end{align} \]

Vi ser at integranden her er identisk med sannsynlighetstettheten til \(Y,\) så siden vi vet at et integral over en sannsynlighetstetthet alltid er lik en, får vi at integralet må være lik en. Dermed har vi at

\[ M_Y(t) = \frac{1}{(1-2t)^{\frac{\nu}{2}}}. \]

Legg så merke til at sannsynlighetstettheten vi fant for \(Z_1^2\) er identisk med den vi valgte for \(Y\) når vi setter \(\nu=1.\) Dermed må momentgenererende funksjon for \(Z_1^2\) være identisk med momentgenererende funksjon for \(Y\) når vi setter \(\nu=1,\) dvs

\[ M_{Z_1^2}(t) = \frac{1}{(1-2t)^{\frac{1}{2}}}. \]

Dessuten, siden \(Z_2,Z_3,\ldots,Z_{\nu}\) alle har samme sannsynlighetsfordeling som \(Z_1\) må \(Z_1^2,Z_2^2,\ldots,Z_{\nu}^2\) alle ha samme momentgenererende funksjon, dvs

\[ M_{Z_i^2}(t) = \frac{1}{(1-2t)^{\frac{1}{2}}} \]

for \(i=1,2\ldots,\nu.\) Ved å bruke regneregler for momentgenererende funksjoner for lineære funksjoner av uavhengige stokastiske variabler og at \(Z_1,Z_2,\ldots,Z_{\nu}\) er uavhengige får vi dermed

\[ \begin{align} M_X(t) &= M_{Z_1^2+Z_2^2+\ldots+Z_{\nu}^2}(t)\\ &= M_{Z_1^2}(t)\cdot M_{Z_2^2}(t)\cdot\ldots\cdot M_{Z_{\nu}^2}(t)\\ &= \frac{1}{(1-2t)^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{1}{(1-2t)^{\frac{1}{2}}}\cdot\ldots\cdot \frac{1}{(1-2t)^{\frac{1}{2}}}\\ &=\left(\frac{1}{(1-2t)^{\frac{1}{2}}}\right)^\nu\\ &= \frac{1}{(1-2t)^{\frac{\nu}{2}}}. \end{align} \]

Dermed har vi vist at \(M_X(t)=M_Y(t).\) Ifølge teoremet som sier at to stokastiske variabler som har samme momentgenerende funksjon også har samme sannsynlighetsfordeling må dermed fordelingen til \(X\) være identisk med fordeling til \(Y,\) og siden sannsynlighetstettheten vi valgte for \(Y\) er identisk med sannsynlighetstettheten vi skulle bevise for \(X\) er teoremet bevist.

Eksempler på sannsynlighetstetthet

Figur 1 og 2 viser sannsynlighetstettheter for en del kjikvadratfordelinger. I figur 1 vises tettheten i rødt når antall frihetsgrader er \(\nu=1,\) i blått for \(\nu=2,\) i grønt for \(\nu=3\) og i brunt for \(\nu=4.\) I figur 2 vises tilsvarende tettheten i rødt for \(\nu=10,\) i blått for \(\nu=20,\) i grønt for \(\nu=30\) og i brunt for \(\nu=40.\)

Figur 1: Sannsynlighetstettheter \(f(x)\) for kjikvadratfordelinger med \(\nu=1\) i rødt, med \(\nu=2\) i blått, med \(\nu=3\) i grønt, og med \(\nu=4\) i brunt.

Figur 2: Sannsynlighetstettheter \(f(x)\) for kjikvadratfordelinger med \(\nu=10\) i rødt, med \(\nu=20\) i blått, med \(\nu=30\) i grønt, og med \(\nu=40\) i brunt.

Kumulativ fordelingsfunksjon

Kumulativ fordelingsfunksjon kan finnes ved å benytte generell sammenheng mellom \(f(x)\) og \(F(x).\) For \(x\geq 0\) får vi her

\[ F(x) = \int_0^x \frac{1}{2^{\frac{\nu}{2}}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} t^{\frac{\nu}{2}-1}e^{-\frac{t}{2}}\text{d}t. \]

Generelt kan dette integralet dog ikke skrives på noen enkel analytisk form. Nå er det relativt sjelden man har behov for å evaluere \(F(x)\) i en kjikvadratfordeling, men hvis man likevel kommer i en situasjon hvor man har behov for dette bør man benytte et dataprogram der evaluering av \(F(x)\) er implementert.

Kvantil

Det er vanlig å betegne \((1-\alpha)\)-kvantilen i en kjikvadratfordeling med \(\nu\) frihetsgrader med \(\chi^2_{\alpha,\nu}.\) Denne kvantilen, \(\chi^2_{\alpha,\nu},\) kan man i prinsippet finne ved å løse ligningen \(F(\chi^2_{\alpha,\nu})=1-\alpha\) med hensyn på \(\chi^2_{\alpha,\nu}.\) Denne ligningen har dog ingen enkel analytisk form, så for å finne en verdi for \(\chi^2_{\alpha,\nu}\) har man to muligheter.

Man kan benytte et dataprogram der utregning av kvantiler er implementert.
Man kan benytte en statistisk tabell hvor kvantiler i kjikvadratfordelinger er tabulert.

Sammenheng med andre fordelinger

Det finnes sammenhenger mellom kjikvadratfordeling og en del andre fordelinger. Disse sammenhengene diskuteres på følgende temasider: