Å bevise teoremet blir matematisk sett enklest ved å bruke momentgenererende funksjoner. Siden teoremet omhandler poissonfordeling trenger vi momentgenererende funksjon for en poissonfordeling. En detaljert utledning av momentgenererende funksjon for en poissonfordeling finnes på temasiden «Momentgenererende funksjon for poissonfordelt variabel». Resultatet der er at momengenererende funksjon for en stokastisk variabel \(X\) som er poissonfordelt med parameter \(\lambda s\) er \[M_X(t) = e^{\lambda s (e^t-1)}.\] For \(i=1,2,\ldots,n\) er \(X_i\) poiVi ssonfordelt med parameter \(\lambda_i\) slik at \[M_{X_i}(t) = e^{\lambda_i (e^t-1)}.\] Vi følger så den vanlige regneprosedyren for å bruke momentgenererende funksjoner til å bevise at en funksjon av stokastiske variabler har en angitt fordeling.
- La \(V\) være en stokastisk variabel med samme fordeling som teoremet angir at \(Y\) har, dvs la \(V\) være poissonfordelt med parameter \(\sum_{i=1}^n \lambda_i.\)
- Momentgenererende funksjon for \(V\) er da \[M_V(t) = e^{\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right)(e^t-1)}.\]
- Vi har allerede etablert at \[M_{X_i}(t) = e^{\lambda_i(e^t-1)}\] for \(i=1,2,\ldots,n.\)
- Vi bruker så regneregler for momentgenererende funksjoner til å finne momentgenererende funksjon for \(Y.\) Siden \(X_i\)-ene er uavhengige kan vi bruke regneregelen som sier at momentgenererende funksjon for en sum av uavhengige variabler er lik produktet av de momentgenererende funksjonene, \begin{align}M_Y(t) &= M_{\sum_{i=1}^n X_i}(t)\\ &= \prod_{i=1}^n M_{X_i}(t)\\ &= \prod_{i=1}^n e^{\lambda_i (e^t-1)}\\ &= e^{\sum_{i=1}^n \left( \lambda_i (e^t-1)\right)}\\ &= e^{\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right) (e^t-1)}.\end{align}
- Vi ser at \[M_Y(t)=M_V(t).\]
- Siden to stokastiske variabler har samme momentgenerende funksjon hvis og bare hvis de har samme sannsynlighetsfordeling må derfor \(V\) ha samme fordeling som \(V,\) dvs \(Y\) er poissonfordelt med parameter \(\sum_{i=1}^n\lambda_i.\). Teoremet er dermed bevist.