Negativ binomisk fordeling

Antall forsøk man må gjøre for å oppnå \(k\) suksesser i en Bernoulli forsøksrekke er negativ binomisk fordelt. Et spesialtilfelle av negativ binomisk fordeling er når \(k=1.\) Da sier man at antall forsøk man må gjøre er geometrisk fordelt.

Negativ binomisk fordeling

Vi starter med å definere hva vi skal mene med en negativ binomisk fordeling.

Notasjon

Det finnes ingen etablert notasjon for å spesifisere at en stokastisk variabel \(X\) er negativ binomisk fordelt med parametre \(k\) og \(p.\) Noen bruker å skrive \(X\sim b^\star(x;k,p),\) der \(b^\star(x;k,p)\) er punktsannsynligheten til den angjeldende negativ binomiske fordeling.

Punktsannsynlighet

Vi starter med å bestemme de mulige verdiene for \(X.\) Siden vi skal ha \(k\) sukesser må vi nødvendigvis gjøre minst \(k\) forsøk og det er ingen grenser for hvor mange fiaskoer det kan bli før \(k\)'te suksess opptrer. De mulige verdiene blir dermed \(x=k,k+1,\ldots.\)

Vi skal så bevise formelen for punktsannsynligheten. La \(S_k\) betegne hendelsen at vi får suksess på forsøk nummer \(k\) og la \(A_{k-1}^{x-1}\) betegne hendelsen at vi får nøyaktig \(x-1\) suksesser i løpet av de \(k-1\) første forsøkene. Dermed har vi at hendelsen \(X=x\) er identisk med hendelsen \(A_{k-1}^{x-1}\cap S_x.\) Siden forsøkene i en Bernoulli forsøksrekke er uavhengige er \(S_x\), som bare har med forsøk nummer \(x\) å gjøre, uavhengig av \(A_{k-1}^{x-1}\), som bare har med de første \(x-1\) forsøkene å gjøre. Dermed får vi

\[ \begin{align} f(x) &= P(X=x) = P(A_{k-1}^{x-1}\cap S_x)\\ &= P(A_{k-1}^{x-1}) \cdot P(S_x)\\ &= P(A_{k-1}^{x-1}) \cdot p, \end{align} \]

der vi i den siste overgangen brukte at sannsynligheten for suksess i et forsøk er lik \(p.\) Definer så en ny stokastisk variabel \(Z\) og la \(Z\) betegne antall suksesser i løpet av de første \(x-1\) forsøkene, slik at hendelsen \(A_{k-1}^{x-1}\) blir identisk med hendelsen \(Z=k-1.\) Dessuten, siden \(Z\) er antall suksesser i løpet av de \(x-1\) første forsøkene i en Bernoulli forsøksrekke med sannsynlighet for suksess lik \(p\) må \(Z\) være binomisk fordelt med parametre \(x-1\) og \(p.\) Ved å bruke formelen for punktsannsynligheten i en binomisk fordeling har vi dermed at

\[ \begin{align} P(A_{k-1}^{x-1}) &= P(Z=k-1)\\ &= \binom{x-1}{k-1}p^{k-1}(1-p)^{(x-1)-(k-1)}\\ &= \binom{x-1}{k-1}p^{k-1}(1-p)^{x-k}. \end{align} \]

Setter vi dette inn i uttrykket for \(f(x)\) vi fant over får vi

\[ \begin{align} f(x) &= \binom{x-1}{k-1}p^{k-1}(1-p)^{x-k}\cdot p\\ &= \binom{x-1}{k-1}p^k (1-p)^{x-k}, \end{align} \]

som var det vi skulle bevise.

Eksempler på punktsannsynlighet

Figur 1 til 4 viser stolpediagram av punktsannsynligheten \(f(x)\) i en negativ binomisk fordeling for hver kombinasjon av \(k=2\) og \(4\) suksesser og suksessannsynlighet \(p=0.5\) og \(0.75.\)

Figur 1: Punktsannsynlighet \(f(x)\) for en negativ binomisk fordeling med \(k=2\) suksesser og suksessansynlighet \(p=0.5.\)

Figur 2: Punktsannsynlighet \(f(x)\) for en negativ binomisk fordeling med \(k=2\) suksesser og suksessansynlighet \(p=0.75.\)

Figur 3: Punktsannsynlighet \(f(x)\) for en negativ binomisk fordeling med \(k=4\) suksesser og suksessansynlighet \(p=0.5.\)

Figur 4: Punktsannsynlighet \(f(x)\) for en negativ binomisk fordeling med \(k=4\) suksesser og suksessansynlighet \(p=0.75.\)

Forventningsverdi og varians

For å finne forventningsverdi og varians i en negativ binomisk fordeling blir det enklest regning ved å ta utgangspunkt i sammenhengen mellom negativ binomisk fordeling og geometrisk fordeling og utnytte at vi allerede kjenner forventningsverdi og varians for en geometrisk fordeling.

La \(Z_1\) være antall forsøk som må til for å få den første suksessen, la \(Z_2\) være antall forsøk som deretter må til for å få den andre suksessen, la tilsvarende \(Z_3\) være antall forsøk som etter den andre suksessen må gjøres for å oppnå den tredje suksessen, og så videre inntil \(Z_k.\) Dermed har vi \[X = \sum_{i=1}^k Z_i.\] Siden utfallene i forskjellige forsøk i en Bernoulli forsøksrekke er uavhengige blir \(Z_1,Z_2,\ldots,Z_k\) uavhengige stokastiske variabler. Fra definisjonen av geometrisk fordeling er \(Z_1\) geometrisk fordelt med parameter \(p,\) og ved å betrakte forsøkene fra og med forsøk nummer \(Z_1+1\) som en egen Bernoulli forsøksrekke får vi fra samme definisjon at også \(Z_2\) er geometrisk fordelt med parameter \(p.\) Tilsvarende kan vi argumentere for at alle \(Z_i,i=1,2,\ldots,k\) er geometrisk fordelt med parameter \(p.\) Ved å bruke regneregel for forventningsverdi til en sum av stokastiske variabler og at vi kjenner forventningsverdien til en geometrisk fordelt variabel får vi dermed

\[ \begin{align} \text{E}[X] &= \text{E}\left[ \sum_{i=1}^k Z_i\right]\\ &= \sum_{i=1}^k \text{E}[Z_i]\\ &= \sum_{i=1}^k \frac{1}{p}\\ &= \frac{k}{p}, \end{align} \]

som er det vi skulle bevise for forventningsverdien.

Ved å bruke regneregel for varians til en sum av uavhengige stokastiske variabler og at vi kjenner variansen til en geometrisk fordelt variabel får vi tilsvarende

\[ \begin{align} \text{Var}[X] &= \text{Var}\left[ \sum_{i=1}^k Z_i\right]\\ &= \sum_{i=1}^k \text{Var}[Z_i]\\ &= \sum_{i=1}^k \frac{1-p}{p^2}\\ &= \frac{(1-p)k}{p^2}, \end{align} \]

som er det vi skulle bevise for variansen.

Kumulativ fordelingsfunksjon

Kumulativ fordelingsfunksjon kan finnes ved å benytte generell sammenheng mellom \(f(x)\) og \(F(x).\) For de mulige verdiene for \(x\) får vi her

\[ F(x) = \sum_{t=k}^x \binom{t-1}{k-1} p^k(1-p)^{t-k} \]

Generelt kan denne summen dog ikke skrives på noen enkel analytisk form. Når man har behov for å evaluere kumulativ fordelingsfunksjon i en negativ binomisk fordeling har man tre muligheter.

Man kan numerisk regne ut summen over. Dette er mest aktuelt dersom \(x\) er svært liten.
Man kan benytte et dataprogram der evaluering av \(F(x)\) er implementert.
Man kan benytte en statistisk tabell hvor \(F(x)\) er tabulert for en del verdier av \(k\), \(p\) og \(x.\)

Sammenheng med andre fordelinger

Det finnes sammenhenger mellom negativ binomisk fordeling og geometrisk fordeling. Disse sammenhengene diskuteres på følgende temasider: