Varians til en funksjon

Regneregel

Anta at vi har definert en eller flere stokastiske variabler og at vi ønsker å regne ut variansen til en funksjon av disse variablene. Det finnes da regneregler vi kan benytte. På temasiden du ser på nå formulerer og diskuterer vi generelle regneregler for denne situasjonen. Hvis funksjonen vi er interessert i er en lineær funksjon av de stokastiske variablene får man enklere regning ved å benytte regneregler som gjelder spesielt for denne situasjonen. Disse regnereglene for varians av en lineær funksjon av stokastiske variabler er formulert og diskutert på en egen temaside.

Varians til en funksjon av en stokastisk variabel

Vi formulerer først et teorem som gir variansen til en funksjon av kun en stokastisk variabel.

Kommentarer

Det er også mulig å regne ut \(\text{Var}[Z]\) direkte fra definisjonen av varians, men da må man først bestemme sannsynlighetsfordelingen til \(Z\) og dette gir vanligvis vanskeligere regning enn ved å benytte resultatet i teoremet over.

I praksis benytter man vanligvis ikke teoremet over til å beregne \(\text{Var}[Z]\). Dersom \(g(x)\) er en lineær funksjon av \(x\) finnes det egne regneregler for dette tilfellet som gir enklere regning. Dersom \(g(x)\) er en ikke-lineær funksjon av \(x\) er det vanligvis enklest å regne ut \(\text{E}[g(x)]\) og \(\text{E}\left[g(x)^2\right]\) først, og deretter bruke at variansen kan uttrykkes ved hjelp av disse to forventningsverdiene.

Varians til en funksjon av flere stokastiske variabler

Teoremet over kan generaliseres til en situasjon hvor \(g(\cdot)\) er en funksjon av to eller flere stokastiske variabler. Her gis dette teoremet uten bevis.

Varians til en funksjon av flere stokastiske variabler

La \(X_1,\ldots,X_n\) være \(n\) stokastiske variabler med simultanfordeling \(f(x_1,\ldots,x_n)\), la \(Z = g(X_1,\ldots,X_n)\) for en skalar funksjon \(g(x_1,\ldots,x_n)\), dvs \(g(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}\), og la \(\mu_Z=E[Z]\) være forventningsverdien til \(Z\). Hvis \(X_1,\ldots,X_n\) er diskrete stokastiske variabler har man da

\[ \begin{align} &\text{Var}[Z] = \text{Var}[g(X_1,\ldots,X_n)]\\ &= \sum_{x_1}\cdots \sum_{x_n} \left(g(x_1,\ldots,x_n)-\mu_Z\right)^2 f(x_1,\ldots,x_n). \end{align} \]

Hvis \(X_1,\ldots,X_n\) er kontinuerlige stokastiske variabler har man

\[ \begin{align} &\text{Var}[Z] = \text{Var}[g(X_1,\ldots,X_n)]\\ &= \int_{-\infty}^\infty \cdots \int_{-\infty}^\infty \left(g(x_1,\ldots,x_n)-\mu_Z\right)^2\\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdot f(x_1,\ldots,x_n) \mbox{d}x_1\cdots\mbox{d}x_n. \end{align} \]