Uniformfordeling

Uniformfordelingen er den aller enkleste kontinuerlige sannsynlighetsfordelingen. En uniformfordeling angir essensielt bare at alle verdier i et angitt intervall på tallinja er like sannsynlige. For uniformfordelingen er det ganske enkelt å utlede formler for forventningsverdi, varians og kumulativ fordelingsfunksjon.

Uniformfordeling

Vi starter med å definere uniformfordelingen ved å angi hvordan sannsynlighetstettheten skal se ut.

Notasjon

Det benyttes ulike notasjoner for å spesifisere at en stokastisk variabel $X$ er uniformfordelt med parametre $a$ og $b.$ Det kanskje mest vanlige er å skrive $X\sim \text{Unif}(a,b).$ En annen variant er å skrive $X\sim u(x;a,b,)$ der $u(x;a,b)$ betegner sannsynlighetstettheten til den angjeldende uniformfordeling.

Eksempler på sannsynlighetstetthet

Figur 1 viser sannsynlighetstettheten for tre uniformfordelinger. $\text{Unif}(0,1)$ -fordelingen er vist i rødt, $\text{Unif}(-1,1)$ -fordelingen i blått og $\text{Unif}(-2,2)$ -fordelingen i grønt.

Figur 1: Sannsynlighetstettheter $f(x)$ for uniformfordelinger med $a=0.0,b=1.0$ i rødt, med $a=-1.0,b=1.0$ i blått, og med $a=-2.0,b=2.0$ i grønt.

Forventningsverdi og varians

Definisjonen av forventningsverdi gir at forventningsverdien til $X$ blir

$\begin{align} \text{E}[X] &= \int_{-\infty}^\infty xf(x)\text{d}x\\ &= \int_a^b x\cdot \frac{1}{b-a}\text{d}x\\ &= \frac{1}{b-a} \int_a^b x\text{d}x\\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^2}{2}\right]_a^b\\ &= \frac{1}{b-a} \cdot \left(\frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2}\right)\\ &= \frac{b^2-a^2}{2(b-a)}\\ &= \frac{(b+a)(b-a)}{2(b-a}\\ &= \frac{a+b}{2}, \end{align}$

som er det som skulle vises for forventningsverdien.

For å bestemme variansen starter vi med å regne ut $\text{E}[X^2].$ Regneregelen for forventningsverdi av en funksjon av en stokastisk variabel gir

$\begin{align} \text{E}[X^2] &= \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x)\text{d}x\\ &= \int_a^b x^2 \frac{1}{b-a}\text{d}x\\ &= \frac{1}{b-a}\int_a^b x^2\text{d}x\\ &= \frac{1}{b-a}\left[\frac{x^3}{3}\right]_a^b\\ &= \frac{b^3-a^3}{3(b-a)}\\ &= \frac{(b-a)(a^2+ab+b^2)}{3(b-a)}\\ &= \frac{a^2+ab+b^2}{3}. \end{align}$

Ved å benytte regneregelen for hvordan varians kan uttrykkes ved hjelp av forventningsverdier får vi dermed

$\begin{align} \text{Var}[X] &= \text{E}[X^2] - \text{E}[X]^2\\ &= \frac{a^2+ab+b^2}{3} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\\ &= \frac{4(a^2+ab+b^2) - 3(a+b)^2}{12}\\ &= \frac{4a^2+4ab+4b^2-3a^2-6ab-3b^2}{12}\\ &= \frac{b^2-2ab+a^2}{12}\\ &= \frac{(b-a)^2}{12}, \end{align}$

som er det vi skulle bevise.

Sammenheng med andre fordelinger

I TMA4240/TMA4245 Statistikk diskuterer vi ingen sammenheng mellom uniformfordelingen og andre fordelinger.