Uniformfordeling

Uniformfordelingen er den aller enkleste kontinuerlige sannsynlighetsfordelingen. En uniformfordeling angir essensielt bare at alle verdier i et angitt intervall på tallinja er like sannsynlige. For uniformfordelingen er det ganske enkelt å utlede formler for forventningsverdi, varians og kumulativ fordelingsfunksjon.

Uniformfordeling

Vi starter med å definere uniformfordelingen ved å angi hvordan sannsynlighetstettheten skal se ut.

Notasjon

Det benyttes ulike notasjoner for å spesifisere at en stokastisk variabel \(X\) er uniformfordelt med parametre \(a\) og \(b.\) Det kanskje mest vanlige er å skrive \(X\sim \text{Unif}(a,b).\) En annen variant er å skrive \(X\sim u(x;a,b,)\) der \(u(x;a,b)\) betegner sannsynlighetstettheten til den angjeldende uniformfordeling.

Eksempler på sannsynlighetstetthet

Figur 1 viser sannsynlighetstettheten for tre uniformfordelinger. \(\text{Unif}(0,1)\)-fordelingen er vist i rødt, \(\text{Unif}(-1,1)\)-fordelingen i blått og \(\text{Unif}(-2,2)\)-fordelingen i grønt.

Figur 1: Sannsynlighetstettheter \(f(x)\) for uniformfordelinger med \(a=0.0,b=1.0\) i rødt, med \(a=-1.0,b=1.0\) i blått, og med \(a=-2.0,b=2.0\) i grønt.

Forventningsverdi og varians

Definisjonen av forventningsverdi gir at forventningsverdien til \(X\) blir

\[ \begin{align} \text{E}[X] &= \int_{-\infty}^\infty xf(x)\text{d}x\\ &= \int_a^b x\cdot \frac{1}{b-a}\text{d}x\\ &= \frac{1}{b-a} \int_a^b x\text{d}x\\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^2}{2}\right]_a^b\\ &= \frac{1}{b-a} \cdot \left(\frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2}\right)\\ &= \frac{b^2-a^2}{2(b-a)}\\ &= \frac{(b+a)(b-a)}{2(b-a}\\ &= \frac{a+b}{2}, \end{align} \]

som er det som skulle vises for forventningsverdien.

For å bestemme variansen starter vi med å regne ut \(\text{E}[X^2].\) Regneregelen for forventningsverdi av en funksjon av en stokastisk variabel gir

\[ \begin{align} \text{E}[X^2] &= \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x)\text{d}x\\ &= \int_a^b x^2 \frac{1}{b-a}\text{d}x\\ &= \frac{1}{b-a}\int_a^b x^2\text{d}x\\ &= \frac{1}{b-a}\left[\frac{x^3}{3}\right]_a^b\\ &= \frac{b^3-a^3}{3(b-a)}\\ &= \frac{(b-a)(a^2+ab+b^2)}{3(b-a)}\\ &= \frac{a^2+ab+b^2}{3}. \end{align} \]

Ved å benytte regneregelen for hvordan varians kan uttrykkes ved hjelp av forventningsverdier får vi dermed

\[ \begin{align} \text{Var}[X] &= \text{E}[X^2] - \text{E}[X]^2\\ &= \frac{a^2+ab+b^2}{3} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\\ &= \frac{4(a^2+ab+b^2) - 3(a+b)^2}{12}\\ &= \frac{4a^2+4ab+4b^2-3a^2-6ab-3b^2}{12}\\ &= \frac{b^2-2ab+a^2}{12}\\ &= \frac{(b-a)^2}{12}, \end{align} \]

som er det vi skulle bevise.

Kumulativ fordelingsfunksjon

Kumulativ fordelingsfunksjon \(F(x)\) kan finnes fra sannsynlighetstettheten \(f(x)\) ved å benytte generell sammenheng mellom f(x) og F(x). Vi regner ut formler for \(F(x)\) for hver av tilfellene \(x\leq a,\) \(a<x\leq b\) og \(x>b.\) For \(x\leq a\) får vi

\[ \begin{align} F(x) &= \int_{-\infty}{x} f(t)\text{d}t\\ &= \int_{-\infty}^x 0 \text{d}t\\ &= 0. \end{align} \]

Når \(a<x\leq b\) får vi

\[ \begin{align} F(x) &= \int_{-\infty}^x f(t)\text{d}t\\ &= \int_{-\infty}^a f(t)\text{d}t + \int_a^x f(t)\text{d}t\\ &= \int_{-\infty}^a 0\text{d}t + \int_a^x \frac{1}{b-a}\text{d}t\\ &= 0 + \left[\frac{t}{b-a}\right]_a^x\\ &= \frac{x}{b-a} - \frac{a}{b-a}\\ &= \frac{x-a}{b-a}. \end{align} \]

Til slutt, for \(x>b\) får vi

\[ \begin{align} F(x) &= \int_{-\infty}^x f(t)\text{d}t\\ &= \int_{-\infty}^a f(t)\text{d}t + \int_a^b f(t)\text{d}t + \int_b^x f(t)\text{d}t\\ &= \int_{-\infty}^a 0\text{d}t + \int_a^b \frac{1}{b-a}\text{d}t + \int_b^x 0\text{d}t\\ &= 0 + \left[\frac{t}{b-a}\right]_a^b + 0\\ &= \frac{b}{b-a} - \frac{a}{b-a}\\ &= \frac{b-a}{b-a}\\ &= 1. \end{align} \]

Ved å sette de tre tilfellene sammen får vi resultatet gitt i teoremet.

Sammenheng med andre fordelinger

I TMA4240/TMA4245 Statistikk diskuterer vi ingen sammenheng mellom uniformfordelingen og andre fordelinger.