T-fordeling

T-fordelingen er en fordeling som er helt sentral i forbindelse med konstruksjon av konfidensintervall og hypotesetester. T-fordelingen kalles også ofte for Student t-fordeling.

T-fordeling

Vi starter med å definere T-fordelingen ved å angi hvordan man kan konstruere en variabel med denne fordelingen ut fra to uavhengige variabler som er henholdsvis standard normalfordelt og kjikvadratfordelt.

Kommentar

T-fordelingen har altså en parameter, som vanligvis betegnes med den greske bokstaven \(\nu.\) Som angitt i definisjonen er det vanlig å kalle \(\nu\) for «antall frihetsgrader». Grunnen til at \(\nu\) kalles dette er at den tilsvarende parameteren i en kjikvadratfordeling kalles det samme.

Notasjon

For å spesifisere at en stokastisk variabel \(X\) er T-fordelt med \(\nu\) frihetsgrader er det vanlig å skrive \(T\sim t_\nu.\) En stokastisk variabel som er T-fordelt betegnes som oftest med bokstaven \(T,\) eventuelt med en indeks dersom man har flere variabler som er T-fordelt.

Sannsynlighetstetthet

Utledning av sannsynlighetstetthet for T-fordeling er IKKE innenfor pensum i TMA4240/TMA4245 Statistikk, men for den interesserte leser inkluderer vi likevel en slik utledning her. Utledningen krever ikke matematisk teori utover det som ellers brukes i TMA4240/TMA4245.

Gitt \(V=x\) har vi fra definisjonen av T-fordelingen at \[T = Z\sqrt{\frac{\nu}{x}}.\] Siden vi vet at en lineær funksjon av en normalfordelt variabel blir normalfordelt, se temasiden «Lineærkombinasjon av uavhengige normalfordelte variabler», får vi at \(T\) er normalfordelt når vi har gitt at \(V=x.\) Fra regneregler for forventningsverdi og varians til en lineær funksjon får vi at forventningsverdien til \(T\), når det er gitt at \(V=x,\) blir \(0\cdot \sqrt{\frac{\nu}{x}}=0\) og at tilsvarende varians blir \(1\cdot \left(\sqrt{\frac{\nu}{x}}\right)^2=\frac{\nu}{x}.\) Altså har vi at

\[ \begin{align} f_{T|V}(t|x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{\frac{\nu}{x}}} e^{-\frac{1}{2}\frac{(t-0)^2}{\frac{\nu}{x}}}\\ &= \sqrt{\frac{x}{2\pi\nu}} e^{-\frac{t^2x}{2\nu}}. \end{align} \]

Dessuten vet vi jo at \(V\) er kjikvadratfordelt med \(\nu\) frihetsgrader slik at

\[ f_V(x) = \frac{1}{2^{\frac{\nu}{2}}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} x^{\frac{\nu}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}. \]

Dermed får vi at simultanfordelingen til \(T\) og \(V\) blir

\[ \begin{align} f_{TV}(t,x) &= f_{T|V}(t|x) f_V(x)\\ &= \sqrt{\frac{x}{2\pi\nu}} e^{-\frac{t^2x}{2\nu}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{\nu}{2}}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} x^{\frac{\nu}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}\\ &=\frac{1}{2^{\frac{\nu+1}{2}} \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right) \sqrt{\pi\nu}} x^{\frac{\nu-1}{2}} e^{-\frac{x(1+t^2/\nu)}{2}} \end{align} \]

for \(\infty<t<\infty\) og \(x\geq 0.\) Da kan vi finne marginalfordelingen for \(T\) ved å integrere bort \(x,\)

\[ \begin{align} f_T(t) &= \int_0^\infty f_{TV}(t,x)\text{d}x\\ &= \frac{1}{2^{\frac{\nu+1}{2}} \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right) \sqrt{\pi\nu}} \int_0^\infty x^{\frac{\nu-1}{2}} e^{-\frac{x(1+t^2/\nu)}{2}}\text{d}x. \end{align} \]

For å få integranden til å bli på formen av sannsynlighetstettheten i en kjikvadratfordeling bruker vi så substituasjonen \(u=x\left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)\Leftrightarrow x = u/\left(1+\frac{t^2}{\nu}\right),\) som gir \(\text{d}x = \text{d}u/\left(1+\frac{t^2}{\nu}\right).\) Da får vi

\[ \begin{align} f_T(t) &= \frac{1}{2^{\frac{\nu+1}{2}} \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right) \sqrt{\pi\nu}} \\ &\cdot \int_0^\infty \left(\frac{u}{1+\frac{t^2}{\nu}}\right)^{\frac{\nu-1}{2}} e^{-\frac{u}{2}} \frac{\text{d}u}{1+\frac{t^2}{\nu}}\\ &= \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)\sqrt{\pi\nu} \left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{\frac{\nu+1}{2}}}\\ &\cdot \int_0^\infty \frac{1}{2^{\frac{\nu+1}{2}}\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)} u^{\frac{\nu+1}{2}-1} e^{-\frac{u}{2}}\text{d}u\\ &=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)\sqrt{\pi\nu} \left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{\frac{\nu+1}{2}}}, \end{align} \]

der vi i den siste overgangen har brukt at integralet blir lik en fordi integranden er lik sannsynlighetstettheten i en kjikvadratfordeling med \(\nu+1\) frihetsgrader. Når vi sammenligner uttrykket vi her fant for \(f_T(t)\) med uttrykket gitt i teoremet ser vi at de er identiske. Teoremet er dermed bevist.

Eksempler på sannsynlighetstetthet

Figur 1 viser sannsynlighetstettheter for fire T-fordelinger. Tettheten vises i rødt for antall frihetsgrader lik \(\nu=1,\) i blått for \(\nu=3,\) i grønt for \(\nu=10\) og i brunt for \(\nu=30.\) For å kunne sammenligne er sannsynlighetstettheten i en standard normalfordeling tegnet inn i svart. Merk at forskjellen mellom tetthetene i en T-fordeling med \(\nu=30\) frihetsgrader og i en standard normalfordeling er svært liten, så dersom du har en liten skjerm må du kanskje zoome for å skille de fra hverandre.

Figur 1: Sannsynlighetstettheter \(f(x)\) for en T-fordelinger med \(\nu=1\) i rødt, med \(\nu=3\) i blått, med \(\nu=10\) ii grønt, og med \(\nu=30\) i brunt. Sannsynlighetstettheten for en standard normalfordeling er vist i svart.

Kumulativ fordelingsfunksjon

Kumulativ fordelingsfunksjon kan finnes ved å benytte generell sammenheng mellom \(f(x)\) og \(F(x).\) Her får vi

\[ F(t) = \int_{-\infty}^t \frac{\Gamma\left( \frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)\sqrt{\pi \nu}}\left( 1 + \frac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}\text{d}x. \]

Dette integralet kan ikke skrives på en enkel analytisk form for alle verdier av \(\nu.\) Det er relativt sjelden man har behov for å evaluere \(F(x)\) i en T-fordeling, men hvis man likevel kommer i en situasjon hvor man har behov for dette bør man benytte et dataprogram der evaluering av \(F(x)\) er implementert.

Kvantil

Det er vanlig å betegne \((1-\alpha)\)-kvantilen i en T-fordeling med \(\nu\) frihetsgrader med \(t_{\alpha,\nu}.\) Denne kvantilen, \(t_{\alpha,\nu},\) kan man i prinsippet finne ved å løse ligningen \(F(t_{\alpha,\nu})=1-\alpha\) med hensyn på \(t_{\alpha,\nu}.\) Denne ligningen har dog ingen enkel analytisk form, så for å finne en verdi for \(t_{\alpha,\nu}\) har man to muligheter.

Man kan benytte et dataprogram der utregning av kvantiler er implementert.
Man kan benytte en statistisk tabell hvor kvantiler i T-fordelinger er tabulert.

Man bør merke seg at siden sannsynlighetsfordelingen for en T-fordeling er symmetrisk omkring \(0\) får man at \[t_{1-\alpha,\nu}=-t_{\alpha,\nu}.\]

Sammenheng med andre fordelinger

Bortsett fra sammenhengen med standard normal- og kjikvadratfordelingene gitt fra definisjonen av en T-fordeling, diskuterer vi i TMA4240/TMA4245 ingen sammenheng mellom T-fordelingen og andre fordelinger.