Sum av uavhengige eksponensialfordelte variabler

Regneregel

En sum av uavhengige og eksponensialfordelte variabler som alle har samme parameter \(\lambda\) blir gammafordelt. På temasiden du ser på nå formulerer vi dette resultatet som et teorem og bruker momentgenererende funksjoner til å bevise resultatet. Vi diskuterer også at resultatet impliserer at tiden til hendelse nummer \(n\) i en poissonprosess blir gammafordelt.

Sum av uavhengige eksponensialfordelte variabler

Vi formulerer først resultet som et teorem og diskuterer etterpå sammenhengen med en poissonprosess.

Sum av uavhengige eksponensialfordelte variabler

Å bevise teoremet blir matematisk sett enklest ved å bruke momentgenererende funksjoner. Siden teoremet omhandler eksponensial- og gammafordelingen trenger vi de momentgenererende funksjonene til disse to fordelingene. En detaljert utledning av momentgenererende funksjon for en eksponensialfordeling finnes på temasiden «Momentgenererende funksjon for eksponensialfordelt variabel». For \(i=1,2,\ldots,n\) gir dette at \[M_{X_i}(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t}\] for \(t<\lambda.\) Et detaljert utledning av momentgenererende funksjon for en gammafordeling finnes på temasiden «Momentgenererende funksjon for gammafordelt variabel». Dersom \(U\) er gammafordelt med parametre \(\alpha\) og \(\beta\) gir dette at \[M_U(t) = \frac{1}{(1-\beta t)^\alpha}\] for \(t < \frac{1}{\beta}.\) Vi følger så den vanlige regneprosedyren for å bruke momentgenererende funksjoner til å bevise at en funksjon av stokastiske variabler har en angitt fordeling.

La \(V\) være en stokastisk variabel med samme fordeling som teoremet angir at \(Y\) har, dvs la \(V\) være gammafordelt med parametre \(\alpha=n\) og \(\beta=\frac{1}{\lambda}.\)
Momentgenererende funksjon for \(V\) er dermed \[M_V(t) = \frac{1}{\left(1-\frac{1}{\lambda} t\right)^n} = \frac{1}{\left(1-\frac{t}{\lambda}\right)^n}\] for \(t<\frac{1}{\lambda}.\)
Vi har allerede etablert at \[M_{X_i}(t)=\frac{\lambda}{\lambda - t}\] for \(t<\frac{1}{\lambda}\) og for \(i=1,2,\ldots,n.\)
Vi bruker så regneregler for momentgenererende funksjoner til å finne momentgenererende funksjon for \(Y.\) Siden \(X_i\)-ene er uavhengige kan vi bruke regneregelen som sier at momentgenererende funksjon for en sum av uavhengige variabler er lik produktet av de momentgenererende funksjonene, \begin{align}M_Y(t) &= M_{\sum_{i=1}^n X_i}(t)\\ &=\prod_{i=1}^n M_{X_i}(t)\\ &= \prod_{i=1}^n \frac{\lambda}{\lambda - t}\\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda - t}\right)^n \\ &= \left( \frac{1}{1-\frac{t}{\lambda}}\right)^n \\ &= \frac{1}{\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^n}.\end{align}
Vi ser at \(M_Y(t)=M_V(t).\)
Siden to stokastiske variabler har samme momentgenerende funksjon hvis og bare hvis de har samme sannsynlighetsfordeling må derfor \(Y\) ha samme fordeling som \(V,\) dvs \(Y\) er gammafordelt med parametre \(\alpha=n\) og \(\beta=\frac{1}{\lambda}.\) Teoremet er dermed bevist.

Kommentar

Man bør merke seg at teoremet over kun gjelder når alle \(X_i\)-ene er eksponensialfordelte med samme verdi for parameteren \(\lambda.\) Det finnes ikke noe tilsvarende resultat som sier hvilken fordeling man får dersom man har en sum av uavhengige eksponensialfordelte variabler med forskjellige verdier for parameteren \(\lambda.\)

Fordeling for tid til \(n\)-te hendelse i en poissonprosess

La \(X_1\) være tiden til første hendelse i en poissonprosess med intensitet \(\lambda.\) For \(i=2,3,\ldots,n,\) la videre \(X_i\) være tid fra hendelse nummer \(i-1\) til hendelse nummer \(i\) i den samme poissonprossen, slik at \(Y=\sum_{i=1}^n X_i\) blir tid til hendelse nummer \(n\) i poissonprosessen.

Egenskap 2 i definisjonen av en poissonprosess sier at antall hendelser som skjer i en poissonprosess i ikke-overlappende intervaller er uavhengige stokastiske variabler. Siden variablene \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er definert ut fra hva som skjer i poissonprosessen i ikke-overlappende intervaller, blir dermed \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) uavhengige stokastiske variabler. Ut fra definisjonen av eksponensialfordeling har vi dessuten at \(X_1\) er eksponensialfordelt med parameter \(\lambda.\)

Vi bruker så poissonprosessen diskutert over til å definere en ny prosess. Den nye prosessen starter og har tid lik null når den første hendelsen skjer i den opprinnelige prosessen. Den nye prosessen teller så antall hendelser som skjer deretter (i den opprinnelige prosessen). Siden intervallet den nye prosessen er definert på er ikke-overlappende med intervallet frem til der den første hendelsen skjer, gir egenskap 2 i definisjonen av en poissonprosess at den nye prosessen også er en poissonprosess med intensitet \(\lambda.\) Dermed, siden \(X_2\) er tiden frem til den første hendelsen i den nye (poisson)prosessen gir definisjonen av eksponensialfordeling at også \(X_2\) er eksponensialfordelt med parameter \(\lambda.\)

Tilsvarende som vi argumenterte for at \(X_2\) er eksponensialfordelt med parameter \(\lambda,\) kan man argumentere for at alle \(X_i,i=2,3,\ldots,n\) er eksponensialfordelte med parameter \(\lambda.\) Dermed har vi at \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er uavhengige og alle \(X_i\)-ene er eksponensialfordelte med parameter \(\lambda.\) Teoremet over gir da at \(Y,\) tiden til hendelse nummer \(n\) i en poissonprosess med intensitet \(\lambda,\) er gammafordelt med parametre \(\alpha=n\) og \(\beta=\frac{1}{\lambda}.\)