Betinget fordeling
Vi har tidligere definert betinget sannsynlighet for en hendelse \(B\) gitt at vi vet at en annen hendelse \(A\) har skjedd. Vi har også sett hvordan en stokastisk variabel kan brukes til å definere en hendelse. Ved å kombinere disse to ideene gir det også mening å snakke sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel \(Y\) gitt at vi vet hvilken verdi en annen stokastisk variabel \(X\) har. Denne sannsynlighetsfordelingen kaller vi en betinget sannsynlighetsfordeling eller betinget fordeling.
Betinget fordeling
Vi starter med å definere hva vi mener med en betinget sannsynlighetsfordeling.
Kommentarer
Definisjonen over gjelder for både diskrete og kontinuerlige stokastiske variabler. Hvis \(X\) og \(Y\) er diskrete stokastiske variabler er fordelingene som inngår i formlene i definisjonen over punktsannsynligheter, mens hvis \(X\) og \(Y\) er kontinuerlige stokastiske variabler er fordelingene sannsynlighetstettheter.
Merk at \(f_{Y|X}(y\ |\ x)\) og \(f_{X|Y}(x\ |\ y)\) er sannsynlighetsfordelinger (punktsannsynligheter eller sannsynlighetstettheter) og at de dermed vil oppfylle de egenskaper som alle punktsannsynligheter og sannsynlighetstettheter har.
Tolkning av betinget fordeling
Den betingede fordelingen \(f_{Y|X}(y\ |\ x)\) angir sannsynlighetsfordelingen for \(Y\) hvis man får opplyst om at \(X=x\). Hvis \(X\) og \(Y\) er kontinuerlige stokastiske variabler betyr dette for eksempel at \[P(a<Y\leq b|X=x) = \int_a^b f_{Y|X}(y\ |\ x)\mbox{d}y.\]