Regneprosedyre: p-verdi-metoden

Anta at vi har uavhengige stokastiske variabler \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) der \(X_i\sim f_{X_i}(x_i;\theta)\) for \(i=1,2,\ldots,n,\) der verdien til parameteren \(\theta\) er ukjent. Anta videre at vi har observert verdier \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) for de stokastiske variablene \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) og vi ønsker nå å benytte disse observerte verdiene til å teste om det er grunnlag for en angitt påstand om verdien til \(\theta.\) Kanskje har vi også valgt eller er gitt hvilket signifikansnivå \(\alpha\) vi skal bruke i hypotesetesten.

P-verdi-metoden kan utføres ved følgende prosedyre.

1. Velg nullhypotese \(H_0\) og alternativ hypotese \(H_1.\) Start med å velge den alternativ hypotesen \(H_1\) som det man ønsker å undersøke om observasjonene gir grunnlag for å påstå. Velg så \(H_0\) som «det motsatte» av \(H_1,\) der vi skriver det motsatte i hermetegn fordi det er vanlig å benytte likhetstegn til å formulere \(H_0.\) I praksis betyr dette at man har tre muligheter for valg av \(H_1\) og \(H_0.\) For en kjent verdi \(\theta_0\) vil man enten teste a) \(H_0: \theta = \theta_0\) mot \(H_1: \theta > \theta_0,\) eller man vil teste b) \(H_0: \theta=\theta_0\) mot \(H_1: \theta < \theta_0,\) eller man vil teste c) \(H_0: \theta = \theta_0\) mot \(H_1: \theta \neq \theta_0.\)
2. Velg eller finn en estimator for parameteren \(\theta.\) Videre lar vi denne estimatoren være \(\widehat{\theta}.\)
3. Velg som testobservator en funksjon av \(\widehat{\theta}\) og \(\theta_0\) slik at denne har en kjent sannsynlighetsfordeling når \(H_0\) er riktig. Videre lar vi her denne testobservatoren være \[T=u(\widehat{\theta},\theta_0).\]
4. Bestemme type beslutningsregel. Hvordan denne beslutningsregelen blir vil både avhenge av hva man har valgt som \(H_1\) og av om testobservatoren \(T=u(\widehat{\theta},\theta_0)\) er en voksende eller avtagende funksjon av \(\widehat{\theta}.\) Dersom testobservatoren er en voksende funksjon av \(\widehat{\theta}\) vil beslutningsregelen for de tre mulige hypotesene \(H_1\) diskutert i punkt 1 bli henholdsvis a) forkaste \(H_0\) dersom \(T \geq k,\) b) forkaste \(H_0\) dersom \(T \leq k\) og c) forkaste \(H_0\) dersom \(T\leq k_l\) eller \(T\geq k_u,\) der \(k\) eller \(k_l\) og \(k_u\) er kritiske verdier og hvor verdiene til denne eller disse bestemmes i neste punkt. Dersom testobservatoren \(T=u(\widehat{\theta},\theta_0)\) derimot er en avtagende funksjon av \(\widehat{\theta}\) blir beslutningsregelen for de tre mulige hypotesene \(H_1\) i punkt 1 henholdsvis a) forkast \(H_0\) dersom \(T\leq k,\) b) forkast \(H_0\) dersom \(T\geq k\) og c) forkast \(H_0\) dersom \(T\leq k_l\) eller \(T\geq k_u.\)
5. Regn ut observert verdi for testobservatoren. Dette vil si at man først må erstatte de stokastiske variablene \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) i uttrykket man har for estimatoren \(\widehat{\theta}\) med de tilhørende observerte verdiene \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) og dermed regne ut et estimat \(\widehat{\theta}\) for \(\theta.\) Deretter setter man dette estimatet inn i uttrykket man har for testobservatoren og regner dermed ut observert verdi \[t_{\tiny \text{obs}} = u(\widehat{\theta},\theta_0).\]
6. Regn ut p-verdien. Dersom beslutningsregelen bestemt i punkt 4 er at man skal forkaste \(H_0\) dersom \(T \geq k\) er p-verdien gitt ved \(p=P(T\geq t_{\tiny \text{obs}}|H_0)\) og dersom beslutningsregelen er at man skal forkaste \(H_0\) dersom \(T\leq k\) blir p-verdien lik \(p=P(T\leq t_{\tiny \text{obs}}|H_0).\) Dersom man har en tosidig test slik at beslutningsregelen er at man skal forkaste \(H_0\) dersom \(T\leq k_l\) eller \(T\geq k_u\) er uttrykket for p-verdien avhengig av hvordan testobservatoren er definert og hvilke fordeling \(T\) har når \(H_0\) er riktig, så da er det best å ta utgangspunkt i definisjonen av p-verdi.
7. Dersom vi har valgt eller fått oppgitt et signifikansnivå \(\alpha\) kan vi nå trekke konklusjon. Dersom \(p\leq \alpha\) er konklusjonen å forkaste \(H_0,\) mens hvis \(p>\alpha\) er konklusjonen ikke å forkaste \(H_0.\)

Kommentar

Man bør merke seg at det også finnes en alternativ prosedyre for å utføre en hypotesetest, den såkalte forkastningsområdemetoden. De fire første trinnene i p-verdi-metoden er identisk med prosedyren beskrevet over, men fra og med trinn 5 er de to metodene forskjellige.