Sannsynlighet
Sannsynlighet er et begrep vi ofte bruker i dagligtalen og vi har en intuitiv forståelse av hva det betyr. For å kunne regne med sannsynligheter og bestemme hvilke regneregler som skal gjelde, trenger vi først en matematisk definisjon av begrepet.
Sannsynlighet
Når vi i dagligtalen bruker begrepet sannsynlighet snakker vi om sannsynligheter for ting som kan skje. Når vi skal gi en matematisk definisjon av begrepet tilsvarer dette å snakke om sannsynlighet for en hendelse.
Kommentar
Uttrykket \(P(A)\) leser vi som «sannsynligheten for hendelsen A», eller bare «sannsynligheten for A».
Tolkning av sannsynlighet 1
Man kan tolke \( P(A)\) som arealet av hendelsen \( A\) i et venndiagram. Merk at krav 2 i definisjonen av sannsynlighet \( P\) da gir at utfallsrommet \( S\) skal ha areal lik \(1\). Ved å benytte denne analogien mellom \( P(A)\) og arealet av \( A\) i et venndiagram kan man også finne flere regneregler for sannsynlighet.
Tolkning av sannsynlighet 2
Definisjonen av sannsynlighet gitt over er en ren matematisk definisjon. For å få intuitiv forståelse av hva sannsynlighet er, og dermed kunne gi en tolkning til begrepet sannsynlighet, må vi formulere et sannsynlighetsmål \( P\) relevant for et konkret stokastisk forsøk.
Vi skal her se på et stokastisk forsøk der vi kaster en terning og registrerer antall øyne. Utfallsrommet blir da \(S=\{ 1,2,3,4,5,6\}\) og det er rimelig å anta en uniform sannsynlighetsmodell hvor man har at \( P(\{ e\}) = 1/6\) for \(e = 1,2,3,4,5,6\). Betrakt så hendelsen \( A=\{ 5,6\}\). For å gi en tolkning av \( P(A)\) må vi tenke oss at vi kaster terningen gjentatte ganger. La \( n\) være antall ganger vi kaster terningen og la \( x\) være antall ganger hendelsen \( A\) skjer i disse \( n\) kastene. Vi lar altså \( x\) være antall ganger vi får en femmer eller sekser. Den relative hyppigheten av hendelsen \( A\) er da \( x/n\). Hvis vi nå lar \( n\rightarrow\infty\) vil naturlig nok også \( x\) vokse mot uendelig. Det kan vises at i en viss forstand vil \[\text{relativ hyppighet} = \frac{x}{n} \rightarrow P(A) = \frac{1}{3}\] når \( n\rightarrow\infty\). \( P(A)\) er altså lik den relative hyppigheten av hendelsen \( A\) dersom vi gjentar forsøket undelig mange ganger.
To enkle følger av definisjonen
Ut fra definisjonen av sannsynlighet gitt over kan man relativt enkelt vise at sannsynligheten for den tomme mengde må være lik null. Dessuten kan finne en regneregel for sannsynligheten for en endelig unionen av disjunkte hendelser.
Sannsynlighet for den tomme mengde
Merk at definisjonen av sannsynlighet ikke inneholder noe krav om at sannsynligheten for den tomme mengde skal være lik null, \[P(\emptyset)=0,\] selv om dette intuitivt kan virke som et naturlig krav å stille til begrepet sannsynlighet. Grunnen til at dette ikke er tatt med som et krav i definisjonen er at denne egenskapen følger fra de andre kravene i definisjonen. For å se dette kan man benytte egenskap 2 og 3 i definisjonen for sannsynlighet for hendelsene \( A_1=S\) og \( A_i=\emptyset\) for \(i=2,3,\ldots\). Da har vi at \( A_1,A_2,\ldots\) er parvis disjunkte hendelser (\( A_i\cap A_j=\emptyset\) for \( i\neq j\)), samt at \( S = \bigcup_{i=1}^\infty A_i\), slik at
\[ \begin{align} 1 &= P(S) = P\left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\\ &= \sum_{i=1}^\infty P(A_i)\\ &=P(S) + \sum_{i=2}^\infty P(\emptyset)\\ &= 1 + \sum_{i=2}^\infty P(\emptyset). \end{align} \]
Dermed må man ha at \(P(\emptyset)=0\).
Sannsynlighet for en endelig union av disjunkte hendelser
Egenskap 3 i definisjonen av sannsynlighet angir sannsynligheten for en union av uendelig mange disjunkte hendelser. Merk at man fra definisjonen relativt enkelt kan utlede en tilsvarende regneregel for en union av endelig mange disjunkte hendelser.
Anta at \( A_1,A_2,\ldots,A_n\) er parvis disjunkte hendelser, dvs \(A_i\cap A_j=\emptyset\) for alle \(i\neq j\). Da har man at \[P\left( \bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n P(A_i).\] For å se dette kan man først velge \( A_i=\emptyset\) for \( i=n+1,n+2,\ldots\). Da har vi at \( A_1,A_2,\ldots\) er parvis disjunkte slik at egenskap 3 i definisjonen for sannsynlighet skal gjelde. Dessuten har vi åpenbart at \( \bigcup_{i=1}^n A_i = \bigcup_{i=1}^\infty A_i\), slik at vi får
\[ \begin{align} P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) &= P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\\ &= \sum_{i=1}^\infty P(A_i)\\ &= \sum_{i=1}^n P(A_i) + \sum_{i=n+1}^\infty P(\emptyset) \\ &= \sum_{i=1}^n P(A_i), \end{align} \]
der den siste overgangen gjelder fordi \( P(\emptyset) = 0\) som vist over.
Regneregler
Ut fra definisjonen av sannsynlighet kan man utlede flere regneregler for sannsynlighet. De viktigste av disse er: