Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Transformasjonsformel for kontinuerlig variabel

Regneregel

La X være en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet fX(x) og la Y=u(X), der u(x) er en gitt strengt monoton funksjon. I denne situasjonen er det relativt enkelt å bestemme sannsynlighetstettheten til Y, fY(y).

Transformasjonsformel for kontinuerlig variabel

Vi starter med å formulere teoremet som gir hva sannsynlighetstettheten fY(y) blir.

Beregning av fY(y)

En trinn for trinn beskrivelse av hvordan man kan regne ut fY(y) basert på teoremet over er gitt på en egen temaside.

Tolkning

I teoremet forutsettes det at sammenhengen mellom X og Y=u(X) er strengt monoton. I praksis betyr dette at u(x) enten er en strengt voksende eller strengt avtagende funksjon. Dersom u(x) er en strengt voksende funksjon må man ha at P(a<X<b)=P(u(a)<u(X)<u(b))=P(u(a)<Y<u(b)) for enhver a<b. Hvis vi uttrykker sannsynlighetene P(a<X<b) og P(u(a)<Y<u(b)) som integraler over de respektive sannsynlighetstetthetene får vi dermed at vi må ha bafX(x)dx=u(b)u(a)fY(y)dy, og det er denne integralligningen som gir at fY(y) må være som gitt i teoremet. I figur 1 og 2 er dette illustrert for tilfellet Xn(x;0,1) og Y=u(X)=eX når a=0.5 og b=1. Arealet av det grønne området i intervallet (0.5,1) i figur 1 er altså her lik arealet av det grønne området i intervallet (e0.5,e1)=(0.6065,2.7183) i figur 2.

Figur 1: Illustrasjonen av sannsynligheten P(0.5<X<1) når Xn(x;0,1).
Figur 2: Illustrasjonen av sannsynligheten P(e0.5<Y<e1) når Y=eX og Xn(x;0,1).

Dersom u(x) er en strengt avtagende funksjon blir situasjonen litt annerledes. Da må man ha at P(a<X<b)=P(u(b)<u(X)<u(a))=P(u(b)<Y<u(a)) for enhver a<b. Hvis vi nå uttrykker sannsynlighetene som integraler over de respektive sannsynlighetstetthetene får vi integralligningen bafX(x)dx=u(a)u(b)fY(y)dy som igjen gir at fY(y) må være som gitt i teoremet. Denne situasjonen er illustrert i figur 3 og 4 for tilfellet at X er uniformfordelt på [0,1] og Y=u(X)=lnX/0.6 når a=0.25 og b=0.75. Arealet av det grønne området i intervallet (0.25,0.75) i figur 3 er altså her lik arealet av det grønne området i intervallet (ln(0.75)/0.6,ln(0.25)/0.6)=(0.4795,2.3105) i figur 4.

Figur 3: Illustrasjonen av sannsynligheten P(0.25<X<0.75) når XUnif(0,1).
Figur 4: Illustrasjonen av sannsynligheten P(ln(0.75)/0.6<Y<ln(0.25)/0.6) når Y=ln(X)/0.6 og XUnif(0,1).

Generaliseringer

Teoremet gitt her kan generaliseres i ulike retninger. Man kan formulere et teorem som sier hva som skjer hvis u(X) ikke er én-entydig, og man kan også angi hva som skjer når man har én-entydige transformasjoner av mer en én stokastisk variabel. Begge disse generaliseringene er diskutert i læreboka vi benytter.