Transformasjonsformel for kontinuerlig variabel

Regneregel

La $X$ være en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet $f_X(x)$ og la $Y=u(X),$ der $u(x)$ er en gitt strengt monoton funksjon. I denne situasjonen er det relativt enkelt å bestemme sannsynlighetstettheten til $Y,$ $f_Y(y).$

Transformasjonsformel for kontinuerlig variabel

Vi starter med å formulere teoremet som gir hva sannsynlighetstettheten $f_Y(y)$ blir.

Transformasjonsformel for kontinuerlig variabel

En strengt monoton funksjon er enten strengt voksende eller strengt avtagende. Vi beviser først teoremet for tilfellet at $u(X)$ er strengt voksende og deretter for tilfellet at $u(X)$ er strengt avtagende.

Bevis når $u(X)$ er strengt voksende: Når $u(X)$ er strengt voksende vil også den tilhørende inverse funksjonen, $w(Y),$ være strengt voksende. Som illustrert i figur 1 vil vi da, for vilkårlige verdier $a<b$ ha at $w(a)<w(b),$ og dermed vil vi også ha at $a < Y < b ~~ \Leftrightarrow ~~ w(a) < X < w(b).$

Figur 1: Illustrasjon av at

$a<b \Rightarrow w(a)<w(b)$ når

$w(\cdot)$ er den inverse funksjonen til en strengt voksende funksjon

$u(\cdot).$

Dermed må vi også ha $P(a<Y<b) = P(w(a) < X < w(b)).$ Sannsynlighetstettheten til $X$ er $f_X(x)$ og vi lar $f_Y(y)$ betegne sannsynlighetstettheten til $Y$ . De to sannsynlighetene i ligningen over kan dermed skrives som integraler over sine respektive sannsynlighetstettheter, $P(a<Y<b) = \int_a^b f_Y(y)\text{d}y$ og $P(w(a) < X < w(b)) = \int_{w(a)}^{w(b)} f_X(x)\text{d}x.$ Siden de to sannsynlighetene er like må altså også disse to integralene være like. Vi kan omskrive det siste av de to integralene ved å substituere med $x=w(y)\Leftrightarrow y=u(x)$ , der $\text{d}x = w^\prime(y)\text{d}y$ , $\begin{align}\int_{w(a)}^{w(b)} f_X(x)\text{d}x &= \int_{u(w(a))}^{u(w(b))} f_X(w(y))\cdot w^\prime(y)\text{d}y\\ &= \int_{a}^{b} f_X(w(y)) \cdot w^\prime(y)\text{d}y,\end{align}$ der vi i den siste overgangen har benyttet at $u(x)$ og $w(y)$ er inverse funksjoner slik at $u(w(a))=a$ og $u(w(b))=b$ . Dermed har vi at $\int_a^b f_Y(y)\text{d}y = \int_{a}^{b} f_X(w(y)) \cdot w^\prime(y)\text{d}y,$ og dette skal gjelde for alle $a<b$ . Dette kan bare skje ved at integrandene er like, $f_Y(y) = f_X(w(y)) \cdot w^\prime(y).$ Siden er $w(y)$ er en strengt voksende funksjon er $w^\prime(y)\geq 0$ slik at dette også kan skrives som $f_Y(y) = f_X(w(y)) \cdot |w^\prime(y)|$ og teoremet er bevist for tilfellet at $u(X)$ er strengt voksende.

Bevis når $u(X)$ er strengt avtagende: Beviset når $u(X)$ er strengt avtagende er i store trekk tilsvarende som når $u(X)$ er strengt voksende, men noen viktige detaljer blir annerledes. Når $u(X)$ er strengt avtagende er den inverse funksjonen $w(Y)$ også strengt avtagende. Som illustrert i figur 2 vil vi da, for vilkårlige verdier $a<b$ ha at $w(a)>w(b)$ og dermed at $a < Y < b ~~ \Leftrightarrow ~~ w(b) < X < w(a).$

Figur 2: Illustrasjon av at

$a<b\Rightarrow w(a) > w(b)$ når

$w(\cdot)$ er den inverse funksjonen til en strengt avtagende funksjon

$u(\cdot).$

Dermed må vi også ha $P(a<Y<b) = P(w(b) < X < w(a)).$ De to sannsynlighetene i ligningen over kan også nå skrives som integraler over sine respektive sannsynlighetstettheter, $P(a<Y<b) = \int_a^b f_Y(y)\text{d}y$ og $P(w(b) < X < w(a)) = \int_{w(b)}^{w(a)} f_X(x)\text{d}x.$ Siden de to sannsynlighetene er like må igjen disse to integralene være like. Også nå kan vi omskrive det siste integralet ved å substituere med $x=w(y)\Leftrightarrow y=u(x)$ , der $\text{d}x = w^\prime(y)\text{d}y$ , $\begin{align}\int_{w(b)}^{w(a)} f_X(x)\text{d}x &= \int_{u(w(b))}^{u(w(a))} f_X(w(y))\cdot w^\prime(y)\text{d}y\\ &= \int_{b}^{a} f_X(w(y)) \cdot w^\prime(y)\text{d}y\\ &= - \int_{a}^{b} f_X(w(y)) \cdot w^\prime(y)\text{d}y,\end{align}$ der vi i den andre overgangen har benyttet at $u(x)$ og $w(y)$ er inverse funksjoner slik at $u(w(a))=a$ og $u(w(b))=b$ , og i den siste overgangen har vi benyttet at et integral bytter fortegn når integrasjonsgrensene byttes om. Dermed har vi at $\int_a^b f_Y(y)\text{d}y = - \int_{a}^{b} f_X(w(y)) \cdot w^\prime(y)\text{d}y,$ og dette skal gjelde for alle $a<b$ . Dette kan bare skje ved at integrandene er like, $f_Y(y) = - f_X(w(y)) \cdot w^\prime(y).$ Siden $w(y)$ er en strengt avtagende funksjon er $w^\prime(y)\leq 0$ slik at dette også kan skrives som $f_Y(y) = f_X(w(y)) \cdot |w^\prime(y)|$ og teoremet er dermed bevist også for tilfellet at $u(X)$ er strengt avtagende.

Beregning av $f_Y(y)$

En trinn for trinn beskrivelse av hvordan man kan regne ut $f_Y(y)$ basert på teoremet over er gitt på en egen temaside.

Tolkning

I teoremet forutsettes det at sammenhengen mellom $X$ og $Y=u(X)$ er strengt monoton. I praksis betyr dette at $u(x)$ enten er en strengt voksende eller strengt avtagende funksjon. Dersom $u(x)$ er en strengt voksende funksjon må man ha at $\begin{align}P(a < X < b) &= P(u(a) < u(X) < u(b))\\ &= P(u(a) < Y < u(b))\end{align}$ for enhver $a<b$ . Hvis vi uttrykker sannsynlighetene $P(a<X<b)$ og $P(u(a)<Y<u(b))$ som integraler over de respektive sannsynlighetstetthetene får vi dermed at vi må ha $\int_a^b f_X(x)\text{d}x = \int_{u(a)}^{u(b)} f_Y(y)\text{d}y,$ og det er denne integralligningen som gir at $f_Y(y)$ må være som gitt i teoremet. I figur 1 og 2 er dette illustrert for tilfellet $X\sim n(x;0,1)$ og $Y=u(X) = e^X$ når $a=-0.5$ og $b=1$ . Arealet av det grønne området i intervallet $(-0.5,1)$ i figur 1 er altså her lik arealet av det grønne området i intervallet $(e^{-0.5},e^1)=(0.6065,2.7183)$ i figur 2.

Figur 1: Illustrasjonen av sannsynligheten $P(-0.5<X<1)$ når $X\sim n(x;0,1).$

Figur 2: Illustrasjonen av sannsynligheten $P(e^{-0.5}<Y<e^1)$ når $Y=e^X$ og $X\sim n(x;0,1).$

Dersom $u(x)$ er en strengt avtagende funksjon blir situasjonen litt annerledes. Da må man ha at $P(a<X<b) = P(u(b) < u(X) < u(a)) = P(u(b) < Y < u(a))$ for enhver $a<b$ . Hvis vi nå uttrykker sannsynlighetene som integraler over de respektive sannsynlighetstetthetene får vi integralligningen $\int_a^b f_X(x) \text{d}x = \int_{u(b)}^{u(a)} f_Y(y)\text{d}y$ som igjen gir at $f_Y(y)$ må være som gitt i teoremet. Denne situasjonen er illustrert i figur 3 og 4 for tilfellet at $X$ er uniformfordelt på $[0,1]$ og $Y=u(X)=-\ln X/0.6$ når $a=0.25$ og $b=0.75$ . Arealet av det grønne området i intervallet $(0.25,0.75)$ i figur 3 er altså her lik arealet av det grønne området i intervallet $(-\ln(0.75)/0.6,-\ln(0.25)/0.6)$ $=(0.4795,2.3105)$ i figur 4.

Figur 3: Illustrasjonen av sannsynligheten $P(0.25<X<0.75)$ når $X\sim \text{Unif}(0,1).$

Figur 4: Illustrasjonen av sannsynligheten $P(-\ln(0.75)/0.6<Y<-\ln(0.25)/0.6)$ når $Y=-\ln(X)/0.6$ og $X\sim \text{Unif}(0,1).$

Generaliseringer

Teoremet gitt her kan generaliseres i ulike retninger. Man kan formulere et teorem som sier hva som skjer hvis $u(X)$ ikke er én-entydig, og man kan også angi hva som skjer når man har én-entydige transformasjoner av mer en én stokastisk variabel. Begge disse generaliseringene er diskutert i læreboka vi benytter.

Transformasjonsformel for kontinuerlig variabel

Beregning av fY(y)f_Y(y)

Tolkning

Generaliseringer

Beregning av $f_Y(y)$