Vi beviser først formelen for kumulativ fordeling, \(F_{X_{(k)}}(x),\) og finner deretter formelen for sannsynlighetstettheten, \(f_{X_{(k)}}(x),\) ved å derivere \(F_{X_{(k)}}(x)\) med hensyn på \(x.\)
Bevis av formel for \(F_{X_{(k)}}(x)\): Vi har åpenbart at \(X_{(k)}\) er mindre enn eller lik et tall \(x\) hvis og bare hvis minst \(k\) av \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er mindre enn eller lik \(x\). La derfor \(Z\) være lik antall av \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) som er mindre enn eller lik tallet \(x.\) Da må vi har at \[F_{X_{(k)}}(x) = P(X_{(k)}\leq x) = P(Z\geq k).\] Siden alle \(X_i\)-ene har samme sannsynlighetsfordeling er sannsynligheten \(P(X_i \leq x)=F_X(x)\) lik for alle \(i=1,2,\ldots,n.\) Og siden \(X_i\)-ene er uavhengige blir antall \(X_i\) som er mindre enn eller lik \(x\) binomisk fordelt med \(n\) forsøk og sannsynlighet for suksess lik \(p=F_X(x)\), dvs \[P(Z=j) = \binom{n}{j} \left(F_X(x)\right)^j \left(1-F_X(x)\right)^{n-j}.\] Dermed får vi at \begin{align}F_{X_{(k)}}(x) &= P(Z\geq k)\\ &= \sum_{j=k}^n P(Z=j)\\ &= \sum_{j=k}^n \binom{n}{j} \left(F_X(x)\right)^j \left(1-F_X(x)\right)^{n-j},\end{align} som var det vi skulle bevise.
Bevis av formel for \(f_{X_{(k)}}(x)\): Dersom \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er kontinuerlige stokastiske variabler blir også \(X_{(k)}\) en kontinuerlig stokastisk variabel og vi finner sannsynlighetstettheten til \(X_{(k)}\) ved å derivere \(F_{X_{(k)}}(x)\). Før vi starter med å derivere velger vi å trekke ut det siste leddet i summen for \(F_{X_{(k)}}(x)\), \begin{align}F_{X_{(k)}}(x) &= \sum_{j=k}^{n-1} \binom{n}{j} \left(F_X(x)\right)^j \left(1-F_X(x)\right)^{n-j}\\ &~~~+ \left(F_X(x)\right)^n.\end{align} Når vi deriverer summen ledd for ledd, og deriverer hvert ledd ved å bruke produktregelen, får vi \begin{align}&f_{X_{(k)}}(x) = F_{X_{(k)}}^\prime(x)\\ &= \sum_{j=k}^{n-1} \left[ \binom{n}{j} j \left(F_X(x)\right)^{j-1} f_X(x) \left(1-F_X(x)\right)^{n-j}\right.\\ &+ \left.\binom{n}{j}\left(F_X(x)\right)^j (n-j) \left(1-F_X(x)\right)^{n-j-1}(-f_X(x))\right]\\ &+ n\left(F_X(x)\right)^{n-1}f_X(x)\\ &= \left[ \sum_{j=k}^{n-1} \left(j\binom{n}{j} \left(F_X(x)\right)^{j-1}\left(1-F_X(x)\right)^{n-j}\right)\right.\\ &- \sum_{j=k}^{n-1} \left((n-j)\binom{n}{j} \left(F_X(x)\right)^j \left(1-F_X(x)\right)^{n-j-1}\right)\\ &+ \left.\vphantom{\sum_{j=k}^{n-1} \left(j\binom{n}{j} \left(F_X(x)\right)^{j-1}\left(1-F_X(x)\right)^{n-j}\right)}n\left(F_X(x)\right)^{n-1}\right]f_X(x).\end{align} Observer så at koeffisienten i den første summen kan skrives \[j\binom{n}{j} = j\cdot \frac{n!}{j!(n-j)!} = \frac{n!}{(j-1)!(n-j)!}\] og koeffisienten i den andre summen kan skrives \begin{align}(n-j)\binom{n}{j} &= (n-j)\cdot \frac{n!}{j!(n-j)!}\\ &= \frac{n!}{j!(n-j-1)!}.\end{align} Ved å sette dette inn i uttrykket vi har for \(f_{X_{(k)}}(x)\) og trekke ut det første leddet i den første summen får vi \begin{align} &f_{X_{(k)}}(x)\!=\!\left[\!\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \left(F_X(x)\right)^{k-1}\left(1-F_X(x)\right)^{n-k}\right.\\ &+ \sum_{j=k+1}^{n-1} \left(\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \left(F_X(x)\right)^{j-1}\left(1-F_X(x)\right)^{n-j}\right)\\ &-\sum_{j=k}^{n-1} \left(\frac{n!}{j!(n-j-1)!} \left(F_X(x)\right)^j \left(1-F_X(x)\right)^{n-j-1}\right)\\ &\left.\vphantom{\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}}+ n\left(F_X(x)\right)^{n-1}\right]f_X(x).\end{align} Vi endrer så summevariabelen i den første summen slik at vi får en sum fra \(j=k\) til \(n-2\) i stedet for fra \(j=k+1\) til \(n-1\), \begin{align}&f_{X_k}(x)\! =\!\left[\!\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \left(F_X(x)\right)^{k-1}\left(1-F_X(x)\right)^{n-k}\right.\\ &+ \sum_{j=k}^{n-2} \left(\frac{n!}{j!(n-j-1)!} \left(F_X(x)\right)^j\left(1-F_X(x)\right)^{n-j-1}\right)\\ &-\sum_{j=k}^{n-1} \left(\frac{n!}{j!(n-j-1)!} \left(F_X(x)\right)^j \left(1-F_X(x)\right)^{n-j-1}\right)\\ &+\left.\vphantom{\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}} n\left(F_X(x)\right)^{n-1}\right]f_X(x).\end{align} Legg merke til at de to summene nå summerer over samme uttrykk, men at den siste summen har et ledd mer enn den første. Dermed får vi \begin{align}f_{X_{(k)}}(x)\!&=\!\left[\! \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \left(F_X(x)\right)^{k-1}\left(1-F_X(x)\right)^{n-k}\right.\\ &- \frac{n!}{(n-1)!0!} \left(F_X(x)\right)^{n-1} \left(1-F_X(x)\right)^0\\ &+\left. \vphantom{\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}}n\left(F_X(x)\right)^{n-1}\right].f_X(x)\end{align} De to siste leddene kansellerer mot hverandre og siden \[\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} = n\binom{n-1}{k-1}\] får vi \[f_{X_{(k)}}(x) = n\binom{n-1}{k-1} \left(F_X(x)\right)^{k-1}\left(1-F_X(x)\right)^{n-k} f_X(x),\] som er uttrykket for \(f_{X_{(k)}}(x)\) gitt i teoremet.
