Fordeling for ordningsvariabler av uavhengige og identisk fordelte variabler

Regneregel

Anta at vi har $n$ uavhengige stokastiske variabler $X_1,X_2,\ldots,X_n.$ Den $k$ -te minst av $X_1,X_2,\ldots,X_n$ betegnes da med $X_{(k)},$ for $k=1,2,\ldots,n,$ og kalles for en ordningsvariabel.

På temasiden du ser på nå skal vi i tillegg til å anta at $X_1,X_2,\ldots,X_n$ er uavhengige, også anta at de alle har samme sannsynlighetsfordeling. Da sier man at $X_1,X_2,\ldots,X_n$ er et tilfeldig utvalg, og man kan relativt enkelt regne seg frem til sannsynlighetsfordelingen til $X_{(k)}$ for $k=1,2,\ldots,n.$

Fordeling for ordningsvariabler av uavhengige og identisk fordelte variabler

Vi starter med å formulere et teorem som gir fordelingen til $X_{(k)}$

Fordeling for ordningsvariabler av uavhengige og identisk fordelte variabler

Vi beviser først formelen for kumulativ fordeling, $F_{X_{(k)}}(x),$ og finner deretter formelen for sannsynlighetstettheten, $f_{X_{(k)}}(x),$ ved å derivere $F_{X_{(k)}}(x)$ med hensyn på $x.$

Bevis av formel for $F_{X_{(k)}}(x)$ : Vi har åpenbart at $X_{(k)}$ er mindre enn eller lik et tall $x$ hvis og bare hvis minst $k$ av $X_1,X_2,\ldots,X_n$ er mindre enn eller lik $x$ . La derfor $Z$ være lik antall av $X_1,X_2,\ldots,X_n$ som er mindre enn eller lik tallet $x.$ Da må vi har at $F_{X_{(k)}}(x) = P(X_{(k)}\leq x) = P(Z\geq k).$ Siden alle $X_i$ -ene har samme sannsynlighetsfordeling er sannsynligheten $P(X_i \leq x)=F_X(x)$ lik for alle $i=1,2,\ldots,n.$ Og siden $X_i$ -ene er uavhengige blir antall $X_i$ som er mindre enn eller lik $x$ binomisk fordelt med $n$ forsøk og sannsynlighet for suksess lik $p=F_X(x)$ , dvs $P(Z=j) = \binom{n}{j} \left(F_X(x)\right)^j \left(1-F_X(x)\right)^{n-j}.$ Dermed får vi at $\begin{align}F_{X_{(k)}}(x) &= P(Z\geq k)\\ &= \sum_{j=k}^n P(Z=j)\\ &= \sum_{j=k}^n \binom{n}{j} \left(F_X(x)\right)^j \left(1-F_X(x)\right)^{n-j},\end{align}$ som var det vi skulle bevise.

Bevis av formel for $f_{X_{(k)}}(x)$ : Dersom $X_1,X_2,\ldots,X_n$ er kontinuerlige stokastiske variabler blir også $X_{(k)}$ en kontinuerlig stokastisk variabel og vi finner sannsynlighetstettheten til $X_{(k)}$ ved å derivere $F_{X_{(k)}}(x)$ . Før vi starter med å derivere velger vi å trekke ut det siste leddet i summen for $F_{X_{(k)}}(x)$ , $\begin{align}F_{X_{(k)}}(x) &= \sum_{j=k}^{n-1} \binom{n}{j} \left(F_X(x)\right)^j \left(1-F_X(x)\right)^{n-j}\\ &~~~+ \left(F_X(x)\right)^n.\end{align}$ Når vi deriverer summen ledd for ledd, og deriverer hvert ledd ved å bruke produktregelen, får vi $\begin{align}&f_{X_{(k)}}(x) = F_{X_{(k)}}^\prime(x)\\ &= \sum_{j=k}^{n-1} \left[ \binom{n}{j} j \left(F_X(x)\right)^{j-1} f_X(x) \left(1-F_X(x)\right)^{n-j}\right.\\ &+ \left.\binom{n}{j}\left(F_X(x)\right)^j (n-j) \left(1-F_X(x)\right)^{n-j-1}(-f_X(x))\right]\\ &+ n\left(F_X(x)\right)^{n-1}f_X(x)\\ &= \left[ \sum_{j=k}^{n-1} \left(j\binom{n}{j} \left(F_X(x)\right)^{j-1}\left(1-F_X(x)\right)^{n-j}\right)\right.\\ &- \sum_{j=k}^{n-1} \left((n-j)\binom{n}{j} \left(F_X(x)\right)^j \left(1-F_X(x)\right)^{n-j-1}\right)\\ &+ \left.\vphantom{\sum_{j=k}^{n-1} \left(j\binom{n}{j} \left(F_X(x)\right)^{j-1}\left(1-F_X(x)\right)^{n-j}\right)}n\left(F_X(x)\right)^{n-1}\right]f_X(x).\end{align}$ Observer så at koeffisienten i den første summen kan skrives $j\binom{n}{j} = j\cdot \frac{n!}{j!(n-j)!} = \frac{n!}{(j-1)!(n-j)!}$ og koeffisienten i den andre summen kan skrives $\begin{align}(n-j)\binom{n}{j} &= (n-j)\cdot \frac{n!}{j!(n-j)!}\\ &= \frac{n!}{j!(n-j-1)!}.\end{align}$ Ved å sette dette inn i uttrykket vi har for $f_{X_{(k)}}(x)$ og trekke ut det første leddet i den første summen får vi $\begin{align} &f_{X_{(k)}}(x)\!=\!\left[\!\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \left(F_X(x)\right)^{k-1}\left(1-F_X(x)\right)^{n-k}\right.\\ &+ \sum_{j=k+1}^{n-1} \left(\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \left(F_X(x)\right)^{j-1}\left(1-F_X(x)\right)^{n-j}\right)\\ &-\sum_{j=k}^{n-1} \left(\frac{n!}{j!(n-j-1)!} \left(F_X(x)\right)^j \left(1-F_X(x)\right)^{n-j-1}\right)\\ &\left.\vphantom{\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}}+ n\left(F_X(x)\right)^{n-1}\right]f_X(x).\end{align}$ Vi endrer så summevariabelen i den første summen slik at vi får en sum fra $j=k$ til $n-2$ i stedet for fra $j=k+1$ til $n-1$ , $\begin{align}&f_{X_k}(x)\! =\!\left[\!\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \left(F_X(x)\right)^{k-1}\left(1-F_X(x)\right)^{n-k}\right.\\ &+ \sum_{j=k}^{n-2} \left(\frac{n!}{j!(n-j-1)!} \left(F_X(x)\right)^j\left(1-F_X(x)\right)^{n-j-1}\right)\\ &-\sum_{j=k}^{n-1} \left(\frac{n!}{j!(n-j-1)!} \left(F_X(x)\right)^j \left(1-F_X(x)\right)^{n-j-1}\right)\\ &+\left.\vphantom{\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}} n\left(F_X(x)\right)^{n-1}\right]f_X(x).\end{align}$ Legg merke til at de to summene nå summerer over samme uttrykk, men at den siste summen har et ledd mer enn den første. Dermed får vi $\begin{align}f_{X_{(k)}}(x)\!&=\!\left[\! \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \left(F_X(x)\right)^{k-1}\left(1-F_X(x)\right)^{n-k}\right.\\ &- \frac{n!}{(n-1)!0!} \left(F_X(x)\right)^{n-1} \left(1-F_X(x)\right)^0\\ &+\left. \vphantom{\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}}n\left(F_X(x)\right)^{n-1}\right].f_X(x)\end{align}$ De to siste leddene kansellerer mot hverandre og siden $\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} = n\binom{n-1}{k-1}$ får vi $f_{X_{(k)}}(x) = n\binom{n-1}{k-1} \left(F_X(x)\right)^{k-1}\left(1-F_X(x)\right)^{n-k} f_X(x),$ som er uttrykket for $f_{X_{(k)}}(x)$ gitt i teoremet.

Illustrasjon

Ved å plotte $f_X(x)$ sammen med tilhørende fordeling for $X_{(k)}$ for ulike verdier av $k$ kan man få en bedre forståelse av sammenhengen mellom disse fordelingene. I figur 1 er dette gjort for $n=5$ når $X_i$ -ene er eksponensialfordelte med parameter $\lambda=1$ . Sannsynlighetstettheten $f_X(x)$ er vist i svart, mens $f_{X_{(k)}}(x)$ for $k=1,2,3,4,5$ er vist i rødt.