Momentgenererende funksjon for normalfordelt variabel

Anta at \(X\) er normalfordelt med forventningsverdi \(\mu\) og varians \(\sigma^2.\) Finn da momentgenererende funksjon for \(X.\)

Utregning

Når \(X\sim\text{N}(\mu,\sigma^2)\) kan vi danne en tilsvarende standardisert variabel, \[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim \text{N}(0,1).\] For å finne momentgenererende funksjon til \(X\) vil vi her først bruke definisjonen av momentgenererende funksjon til å finne momengenererende funksjon for \(Z,\) \(M_Z(t),\) og deretter bruke regneregler for momentgenererende funksjoner til å finne \(M_X(t)\) fra \(M_Z(t).\)

Ved å bruke definisjonen av momentgenererende funksjon, regneregel for forventningsverdien til en funksjon av en stokastisk variabel og sannsynlighetstettheten for en standard normalfordelt variabel får vi \begin{align}M_Z(t) &=\text{E}\!\left[e^{tZ}\right]\\ &= \int_{-\infty}^\infty e^{tz}f_Z(x)\text{d}z\\ &= \int_{-\infty}^\infty e^{tz}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}z^2}\text{d}z\\ &= \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(z^2 -2tz\right)}\text{d}z\\ &= \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(z^2 -2tz+t^2 - t^2\right)}\text{d}z\\ &= \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{1}{2} t^2} e^{-\frac{1}{2}\left(z^2 -2tz+t^2\right)}\text{d}z\\ &= e^{\frac{1}{2}t^2} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(z^2 -2tz+t^2\right)}\text{d}z\\ &= e^{\frac{1}{2}t^2} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(z - t\right)^2}\text{d}z\\ &= e^{\frac{1}{2}t^2},\end{align} der vi i den siste overgangen bruker at indegranden er lik sannsynlighetstettheten i en normalfordeling med forventningsverdi \(t\) og varians lik en, slik at integralet blir lik en.

Siden \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\) har vi også \(X=\sigma Z + \mu.\) Ved å bruke regneregler for momentgenererende funksjoner av lineære funksjoner får vi dermed, \begin{align}M_X(t) &= M_{\sigma Z+\mu}(t)\\ &= e^{\mu t}M_{\sigma Z}(t)\\ &= e^{\mu t}M_Z(\sigma t)\\ &= e^{\mu t} e^{\frac{1}{2}(\sigma t)^2} \\ &= e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}.\end{align} Momentgenererende funksjon for \(X\sim \text{N}(\mu,\sigma^2)\) er altså \[\underline{\underline{M_X(t)=e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}}}.\]