Momentgenererende funksjon for gammafordelt variabel

Anta at \(X\) er gammafordelt med parametre \(\alpha\) og \(\beta.\) Finn da momentgenererende funksjon for \(X.\)

Utregning

Ved å bruke definisjonen av momentgenererende funksjon, regneregel for forventningsverdien til en funksjon av en stokastisk variabel og sannsynlighetstettheten for en gammafordelt variabel får vi \begin{align}&M_X(t) = \text{E}\!\left[ e^{tX}\right]\\ &= \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f_X(x)\text{d}x \\ &= \int_0^\infty e^{tx} \frac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\frac{x}{\beta}}\text{d}x \\ &= \int_0^\infty \frac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-x\left( \frac{1}{\beta}-t\right)}\text{d}x\\ &= \int_0^\infty \frac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\frac{x}{\beta/(1-\beta t)}}\text{d}x \\ &= \int_0^\infty \frac{\left(\frac{\beta}{1-\beta t}\right)^\alpha}{\beta^\alpha} \frac{1}{\left(\frac{\beta}{1-\beta t}\right)^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\frac{x}{\beta/(1-\beta t)}}\text{d}x \\ &= \frac{\left(\frac{\beta}{1-\beta t}\right)^\alpha}{\beta^\alpha} \int_0^\infty \frac{1}{\left(\frac{\beta}{1-\beta t}\right)^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\frac{x}{\beta/(1-\beta t)}}\text{d}x.\end{align} Dersom \(1-\beta t \leq 0\) blir dette integralet lik uendelig, mens hvis \(1-\beta t > 0\Leftrightarrow t<\frac{1}{\beta}\) er integranden lik sannsynlighetstettheten i en gammafordeling med parametre \(\alpha\) og \(\frac{\beta}{1-\beta t},\) slik at integralet blir lik en. Dermed får vi \begin{align}M_X(t) &= \frac{\left(\frac{\beta}{1-\beta t}\right)^\alpha}{\beta^\alpha} \\ &= \frac{1}{(1-\beta t)^\alpha}\end{align} for \(t<\frac{1}{\beta}.\) Momentgenererende funksjon for \(X\) er dermed \[\underline{\underline{M_X(t) = \frac{1}{(1-\beta t)^\alpha}, t<\frac{1}{\beta}}}\].