Momentgenererende funksjon for eksponensialfordelt variabel

Anta at \(X\) er eksponensialfordelt med parameter \(\lambda.\) Finn da momentgenererende funksjon for \(X.\)

Utregning

Ved å bruke definisjonen av momentgenererende funksjon, regneregel for forventningsverdien til en funksjon av en stokastisk variabel og sannsynlighetstettheten for en eksponensialfordelt variabel får vi \begin{align}M_X(t)&=\text{E}\!\left[e^{tX}\right]\\ &=\int_{-\infty}^\infty e^{tx} f_X(x)\text{d}x\\ &= \int_0^\infty e^{tx} \lambda e^{-\lambda x}\text{d}x\\ &= \lambda \int_0^\infty e^{(t-\lambda)x}\text{d}x.\end{align} Dersom \(t-\lambda \geq 0\) blir dette integralet lik uendelig, mens hvis \(t-\lambda<0\Leftrightarrow t<\lambda\) får vi \begin{align}M_X(t) &= \lambda \left[ \frac{1}{t-\lambda} e^{(t-\lambda)x}\right]_0^\infty \\ &= \lambda \left( 0 - \frac{1}{t-\lambda}\cdot 1\right) \\ &= \frac{\lambda}{\lambda - t}.\end{align} Momentgenererende funksjon for \(X\) er dermed \[\underline{\underline{M_X(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t}, t<\lambda}}.\]