Momentgenererende funksjon for binomisk fordelt variabel

Anta at \(X\) er binomisk fordelt med parametre \(n\) og \(p.\) Finn da momentgenererende funksjon for \(X.\)

Utregning

Når man skal regne ut \(M_X(t)\) blir enklest regning ved å starte med å uttrykke \(X\) som en sum over resultatene i hvert av de \(n\) forsøkene i Bernoulli forsøksrekken som definerer binomisk fordeling. Vi skriver altså \[X = \sum_{i=1}^n Y_i\] der \(Y_i\) er en stokastisk variabel som er lik 1 dersom man får suksess i forsøk nummer \(i\) og får verdien 0 dersom man får fiasko i forsøk nummer \(i.\) Punktsannsynligheten til \(Y_i\) blir dermed \[f_{Y_i}(y_i) = P(Y_i=y_i) = \left\{\begin{array}{c} 1-p & \text{for \(y_i=0,\)}\\ p & \text{for \(y_i=1,\)}\end{array}\right.\] og spesielt kan vi legge merke til at denne punktsannsynligheten er lik for alle \(i=1,2,\ldots,n.\) Vi bruker så definisjonen av momentgenererende funksjon og regneregel for forventningsverdien til en funksjon av en stokastisk variabel til å bestemme momentgenererende funksjon til \(Y_i,\) \begin{align}M_{Y_i}(t) &= \text{E}[e^{tY_i}] \\ &= \sum_{y_i=0}^1 e^{t y_i} f_{Y_i}(y_i)\\ &= e^{t\cdot 0}(1-p) + e^{t\cdot 1}p\\ &= 1-p+pe^t.\end{align} Når vi nå har \(M_{Y_i}(t)\) kan vi bruke regneregler for momentgenererende funksjoner til å bestemme \(M_X(t).\) Siden forsøkene i en Bernoulli forsøksrekke er uavhengige blir \(Y_i\)-ene uavhengige stokastiske variabler og vi kan bruke regneregelen som sier at momentgenererende funksjon av en sum av uavhengige stokastiske variabler er lik produktet av de momentgenererende funksjonene, \begin{align}M_X(t) &= M_{\sum_{i=1}^n Y_i}(t)\\ &= \prod_{i=1}^n M_{Y_i}(t) \\ &= \prod_{i=1}^n \left(1-p+pe^t\right)\\ &= \left(1 - p + pe^t\right)^n.\end{align} Momentgenererende funksjon for \(X\) er dermed \[\underline{\underline{M_X(t) = \left(1-p+pe^t\right)^n}}.\]